数学物理方法 保角变换法

第十一章 求解定解问题的其它解法求解数理方程，除了行波法、分离变量法 外，还有其他的常用解法： 格林函数法； 积分变换法； 保角变换法等一些解析法。

11.1 保角变换法求解定解问题在许多物理问题中(如电学、热学、光学、流体力学和弹 性力学等)经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程 的问题.尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林 函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂 时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解 决.对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保

角变换法求解.

保角变换法解定解问题的基本思想：通过解析函数的变换或映射(这部分知识在复变函数论中 已经学习过)将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状(通常是圆、上半平面或带形域)的

边值问题，而后一问题的解易于求得.于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解. 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法。

保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适合于分析平面场的问题。 例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内 容进行介绍.

复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论， 本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。

11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 实现的从Z平面到W 平面的变换在 的点具有保

角性质，因此这种变换称为保角变换.下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定 和它的反函数都是单值

函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶.

定理11.1.1

如果将由

到 的变换由

的保角变换看成为二元(实变)函数 的变量代换，则

到

平面上的边界变成了满足拉普拉斯方 也满足拉普拉斯方程.

平面上的边界.我们能证明，如果 程，则经过保角变换后得到的

【证明】 利用复合函数求导法则有

(11.1.1)

同理

(11.1.2)

两式相加得到

(11.1.3)

利用解析函数

的C-R条件

(11.1.4)

以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质

(11.1.5)

将式(11.1.4)和式(11.1.5)代入到式(11.1.3)化简后得到

注意到上式已经使用了：

对于保角变换满足拉普拉斯方程，则

因而只要 )也满足拉

普拉斯方程，即为

(11.1.6)

这样我们就有结论：如果在

平面上给定了

的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换 ，可以将它转化为 的拉普拉

斯方程边值问题. 平面上

同理可以证明，在单叶解析函数变换下，泊松方程

(11.1.7)

仍然满足泊松方程

(11.1.8)

由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度 发生了变化. 对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程

(11.1.9) 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程 (11.1.10)

注意到方程要比原先复杂，且 能不是常系数.

前的系数可

保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将

复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决.

下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前， 先介绍常用到的一些保角变换.

11.1.2 常用的几种保角变换(1) 平移变换

将z平面上的图形整体平移一个矢量a。

(2) 线性变换 伸缩 旋转

平移