高等 数学 解微分方程详细讲解

怎样解微分方程

常微分方程课件主讲：罗兆富统计与数学学院

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

常微分方程课程简介

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

教材及参考资料教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目： 1. 常微分方程，(第二版), 王高雄等编(中山大学), 高教 出版社。 2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁(北京大学), ,高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

目

录

第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

第一讲第7章 初等积分法7.1 微分方程和解 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.

机动

目录

上

页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系. 解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为

dx v x dt机动 目录 上页 下页 返回 结束

怎样解微分方程

加速度为

d 2x a 2 x dt 质量为m的物体，在下落的任一时刻所 受到的外力有重力mg和空气阻力，当速 度不太大时，空气阻力可取为与速度成 正比.于是根据牛顿第二定律F = ma(力=质量×加速度)

可以列出方程

mx kx mg

(1.1)机动 目录 上页 下页 返回 结束

怎样解微分方程

其中k > 0为阻尼系数，g是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变 量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现 在，我们还不会求解方程(1.1),但是，如果 考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程 (1.1)可化为 d 2x (1.2) g 2 dt将上式对t积分两次得

1 2 x(t ) gt c1t c2 (1.3) 2 (1.1) kx mg mx机动 目录 上页 下页 返回 结束

怎样解微分方程

一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

例如下面的方程都是常微分方程

dy 2x dx1 y2 dy 2 dx 1 x

(1.4)

(1.5)d 2x ( 2 ) x dt

x 0 x2

(1.6)

yy y 0

(1.7)

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的

阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为

F ( x, y, y ) 0如果在(1.8)中能将

(1.8)

y 解出，则得到方程(1.9) (1.10)

y f ( x, y)或

M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0

(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

n 阶隐式方程的一般形式为

F ( x, y, y , , y ( n ) ) 0n 阶显式方程的一般形式为

(1.11)

y ( n ) f ( x, y, y , , y ( n 1) )

(1.12)

在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：

y ( n ) P ( x) y ( n 1) Pn 1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) 1

(1.13)

机动

目录

上页

下页

返回

结束

怎样解微分方程

显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.

dy 2x dx 1 y2 dy 2 dx 1 x

(1.4)

(1.5)d 2x ( 2 ) x dt

x 0 x

(1.6) (1.7)机动 目录 上页 下页 返回 结束

y 2 0 yy