北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(3)：导数及

三、导数及其应用

1. （2012年昌平区高三期末考试理8）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)= 1，f (x)为f(x)的导函数.已知y f (x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a b) 1，则

b 1

的取值范围是（ A ） a 2

11

A. ( , 1 ) B.( , ) ( 1 , )

88

C.( 8 , 1 ) D.( , 8 ) (1 , )

3. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理9）曲线y=为 。 答案：

1

在x=2处的切线的斜率x

1

。4

考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。

4.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示10）设函数f(x),g(x)在(0,5)内导数存在，且有以下数据：

则曲线在点(1,f(1))处的切线方程是 ；函数f(g(x))在x 2处的导数值是 。

答案：y 3x 1，12。

20.（2012年西城区高三期末考试理19）已知函数f(x) x

12

其中a R.ax ln(1 x)，

2

（Ⅰ）若x 2是f(x)的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）若f(x)在

[0, )上的最大值是0，求a的取值范围.

x(1 a ax)

,x ( 1, ). ……2分

x 1

1

依题意，令f (2) 0，解得 a . ……3分

3

1

经检验，a 时，符合题意. ………4分

3

x

（Ⅱ）解：① 当a 0时，f (x) .

x 1

（Ⅰ）解：f (x)

故f(x)的单调增区间是(0, )；单调减区间是( 1,0). ………5分 ② 当a 0时，令f (x) 0，得x1 0，或x2 当0 a 1时，f(x)与f (x)的情况如下：

1

1. a

1)；单调减区间是( 1,0)和( 1, ). …6分 aa

当a 1时，f(x)的单调减区间是( 1, ). ………7分

所以，f(x)的单调增区间是(0,

当a 1时， 1 x2 0，f(x)与f (x)的情况如下：

所以，f(x)的单调增区间是( 1,0)；单调减区间是( 1,

a 1)和(0, ). 8分 a

③ 当a 0时，f(x)的单调增区间是(0, )；单调减区间是( 1,0). …9分 综上，当a 0时，f(x)的增区间是(0, )，减区间是( 1,0)； 当0 a 1时，f(x)的增区间是(0,

11

1)，减区间是( 1,0)和( 1, )； aa

当a 1时，f(x)的减区间是( 1, )；

当a 1时，f(x)的增区间是( 1,0)；减区间是( 1,

1a1

1)和(0, ).…10分 a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a 0时，f(x)在(0, )上单调递增，由f(0) 0，知不合题意.

当0 a 1时，f(x)在(0, )的最大值是f( 1)，

1a

由f( 1) f(0) 0，知不合题意. ……12分 当a 1时，f(x)在(0, )单调递减，

可得f(x)在[0, )上的最大值是f(0) 0，符合题意. 所以，f(x)在[0, )上的最大值是0时，a的取值范围是[1, ). ……14分 21.（2012年昌平区高三期末考试理19）已知函数f(x) (x2 x )eax（a 0）. （I）当a 1时，求函数f(x)的单调区间； （II）若不等式f(x)

1a

1a

5

0对x R恒成立,求a的取值范围. a

ax

解: 对函数f(x)求导得:f (x) e(ax 2)(x 1) ………2分

(Ⅰ)当a 1时, f (x) e(x 2)(x 1) 令f (x) 0解得 x 1或x 2 f (x) 0解得 2 x 1

所以, f(x)单调增区间为( , 2)和(1, ),

f(x)单调减区间为 (-2 ,1) . …5分

(Ⅱ) 令f (x) 0,即(ax 2)(x 1) 0,解得x 当a 0时,列表得：

2

或x 1 6分 a

……8分

对于x

22122

时，因为x 0, x ,a 0,所以x x 0， aaa

∴f(x)>0 … 10 分 对于x

21a

时，由表可知函数在x 1时取得最小值f(1) e 0 aa

所以，当x R时，f(x)min f(1) 由题意，不等式f(x) 所以得

1a

e 11分 a

5

0对x R恒成立， a

1a5

e 0，解得0 a ln5 …13分 aa

b

在x 1处取得极值． x

22.（2012年丰台区高三期末考试理19）设函数f(x) x alnx

（Ⅰ）求a与b满足的关系式；

（Ⅱ）若a 1，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若a 3，函数g(x) ax 3，若存在m1，m2 [,2]，使得

22

12

f(m1) g(m2) 9成立，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f (x) 1

ab

2， ……2分 xx

由f (1) 0 得 b 1 a． ……3分

（Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0, )， ………4分

a1 ax2 ax (1 a)(x 1)[x (a 1)]

由（Ⅰ）可得f (x) 1 2 ．

xxx2x2

令f (x) 0，则x1 1，x2 a 1． ……6分

因为x 1是f(x)的极值点， 所以x1 x2，即a 2． …7分

所以单调递增区间为(0,1)，(a 1, )，单调递减区间为(1,a 1)． ……8分 当1 a 2时，0 a 1 1，

所以单调递增区间为(0,a 1)，(1, )，单调递减区间为(a 1,1)． …9分 （Ⅲ）当a 3时，f(x)在[,1)上为增函数，在(1,2]为减函数，

所以f(x)的最大值为f(1) 2 a 0． ……10分

12

因为函数g(x)在[,2]上是单调递增函数， 所以g(x)的最小值为g()

12

1212

a 3 0．……11分 4

121

要使存在m1，m2 [,2]，使得f(m1) g(m2) 9成立，

2

11

只需要g() f(1) 9，即a2 3 (2 a) 9，所以 8 a 4．……13分

24

所以g(x) f(x)在[,2]上恒成立． ……12分

又因为a 3， 所以a的取值范围是a (3,4)． …14分

23.（2012年朝阳区高三期末考试理18）已知函数f(x) ln(ax 1) 正实数）.

（Ⅰ）若a 1，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)的最小值为1，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）当a 1时，f(x) ln(x 1) 则f (x)

1 x

（x 0，a为1 x

1 x

， 1 x

1 2

. ……… 2分

x 1(1 x)2

所以f (1) 0.又f(1) ln2，因此所求的切线方程为y ln2. …… 4分

a 2ax2 a 2

（Ⅱ）f (x) . …… 5分 22

ax 1(1 x)(ax 1)(1 x)

（1）当a 2 0，即a 2时，因为x 0，所以f (x) 0，所以函数f(x)在 0, 上单调递增. ……… 6分

2

（2）当a 2 0，即0 a 2时，令f (x) 0，则ax a 2 0（x 0），

所以x

时，f (x)

0，当x )时，f (x) 0. 因此，当x

所以函数f(x)的单调递增区间

为 )，函数f(x)的单调递减区间

为. ………… 10分 （Ⅲ）当a 2时，函数f(x)在 0, 上单调递增，则f(x)的最小值为f(0) 1，满足题意. … 11分

当0 a 2时，由（Ⅱ）知函数f(x

)的单调递增区间为 )，函数f(x)的单

调递减区间为，，则f(x

)的最小值为f而f(不合题意.所以a0)1 ，的取值范围是 2, . ……… 13分

24.（2012年海淀区高三期末考试文18）已知函数f(x) e(x ax a)，其中a是常数. （Ⅰ）当a 1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0, )上的最小值. 解：（Ⅰ）由f(x) e(x ax a)可得

f'(x) e[x (a 2)x]. ………2分 当a 1时,f(1) e ,f'(1) 4e. ………4分

所以 曲线y f(x)在点(1,f(1) …… 此处隐藏：4820字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……