一致收敛性及其判别法

一致收敛性及其判别法

§2 含参量反常积分

一、一致收敛性及其判别法 二、含参量反常积分的性质

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一致收敛性及其判别法

一、一致收敛性及其判别法设函数 f ( x , y ) 定义在无界区域 R = { ( x , y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞ }

上，若对于每一个固定 的 x ∈ [a , b ], 反常积分 +∞ (1) ∫ f ( x , y )dyc

都收敛 , 则它是 x 的函数 , 记这个函数为 I ( x ), 有 +∞ I ( x ) = ∫ f ( x , y )dy , x ∈ [a , b ]c

则 ⑴ 式为定义在 [a , b ]上的含参量 x 的无穷限反常积分， 反常积分，或简称含参 量反常积分首页

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一致收敛性及其判别法

设反常积分 I ( x ) =

∫

+∞

c

f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 收敛

即对于每一个 x ∈ [a , b ], 反常积分 +∞ I ( x ) = ∫ f ( x , y )dyc

都收敛，由反常积分收敛的定义， 都收敛，由反常积分收敛的定义，即

ε > 0, N (ε , x ) > c , 使得 M > N ,有关. 其中 N 与 x 有关 如果存在一个与 x ∈ [a , b ] 使得该不等式成立， 无关的 N (ε ) 使得该不等式成立，就称 反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛 上一致收敛首页

|∫

M

c

f ( x , y )dy I ( x ) |< ε

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一致收敛性及其判别法

定义1. 定义 若 ε > 0, N > c, 使得当 M > N 时， 对一切 x ∈ [a , b],都有

|∫

M

c

f ( x , y )dy I ( x ) |< ε

则称含参量反常积分

∫

+∞

c

f ( x , y )dy

在[a , b ]一致收敛于 I ( x ),或含参量积分在 [a , b ]一致收敛 .

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一致收敛性及其判别法

由于

I ( x) =

∫

+∞

c

f ( x , y )dy

所以上述定义中的不等式

|∫也可表示为

M

c

f ( x , y )dy I ( x ) |< ε+∞

|∫

M

f ( x , y )dy |< ε

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一致收敛性及其判别法

定理19.7( 一致收敛的柯西准则) 设含量反常积分 ∫+∞

ε > 0, M > c,使得当 A1 , A2 > M时，对一切A2

c

f ( x , y )dy 在 [a , b] 一致收敛

x ∈ [a , b],都有 | ∫ f ( x , y )dy |< εA1

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一致收敛性及其判别法

例1. 证明含参量反常积分

∫

+∞

0

sin xy dy y

上一致收敛( 在[δ, ∞)上一致收敛(其中 δ > 0), 但在 +0+ 内不一致收敛。 ( , ∞)内不一致收敛。分析 要证： 要证： ε > 0, N > 0, 使得当 A > N 时，

对一切 x ∈ [δ ,+∞ ),都有

|∫

+∞

A

sin xy dy |< ε y首页

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一致收敛性及其判别法

证:

令u=xy,得+∞

+∞ sin u sin xy ∫A y dy = ∫Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 收敛， 由于 ∫ du 收敛，故 0 u ε > 0, M > c,使得当 A′ > M时，就有 +∞ sin u |∫ du |< ε A′ u M , 则当 A > N 时 ， Aδ > M, 取N= δ 对一切 x ∈ [δ,+ ∞ ), Ax ≥ Aδ > M, 有

从而

|∫

+∞

A

+∞ sin u sin xy dy |=| ∫ du |< ε Ax y u

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所以

∫

+∞

0

sin xy dy 在[δ, ∞) 一致收敛 + 一致收敛. y

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定理19.8 设含参量反常积分∫在[a , b]一致收敛

+∞

c

f ( x, y )dy

对任一趋于 + ∞的递增数列 { An } (其中A1 = c ),

函数项级数

∑∫n =1

∞

An+1

An

f ( x , y )dy = ∑ un ( x )n =1

∞

在[a , b]上一致收敛 .

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魏尔斯特拉斯 M 判别法

设有函数 g( y), 使得f ( x , y ) ≤ g ( y ), x ∈ [a , b], y ∈ [c ,+∞ ). 若∫+∞ c

g( y )dy 收敛 , 则 ∫

+∞ c

f ( x , y )dy

在[a , b]上一致收敛 .

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例2 证明含参量反常积分

∫

+∞

0

在 ( ∞ , + ∞ ) 上一致收敛 .证 因为， 因为，有 cos xy 1 | |≤ 2 1+ x 1 + x2 并且反常积分 所以

cos xy dx 2 1+ x

∞< y< +∞1 dx 2 1+ x收敛

∫

+∞

0

∫

+∞

0

cos xy dx 在 ( ∞ , + ∞ ) 上一致收敛 . 2 1+ x首页

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一致收敛性及其判别法

狄利克雷判别法

设

⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ] 都有

| ∫ f ( x , y )dy |≤ Mc

N

⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ],函数 g ( x, y ) 关于 y , 单调递减且当 y → +∞ 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致 地收敛于 0 , 则

∫

+∞ c

f ( x , y ) g( x , y )dy

上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛首页

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一致收敛性及其判别法

阿贝尔判别法 ⑴

设

∫

+∞ c

上一致收敛. f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 上一致收敛

⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ],函数 g ( x, y ) 为 y , 的单调函数， 的单调函数，且存在 M > 0, 使得

| g( x , y ) |≤ M , x ∈ [a , b], y ≥ c则

∫

+∞ c

f ( x , y ) g( x , y )dy

上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛首页

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一致收敛性及其判别法

例 3 证明含参量反常积分

∫

+∞

0

e

xy

sin x dx x

在 [0, d ] 上一致收敛 .sin x 收敛， dx 收敛， 证 因为，反常积分 ∫ 因为， 0 x 上一致收敛， 从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛， xy 函数 g ( x , y ) = e 对每个 x ∈[ 0, d ],关于变量 y , 单调减少，且在[ 上一致有界： 单调减少，且在 0, d ] 上一致有界： | g ( x , y ) |=| e xy |≤ 1, 0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0 +∞ xy sin x 故由阿贝尔判别法， 故由阿贝尔判别法，知 ∫0 e x dx 在[ 0, d ] 上一致收敛首页

+∞

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一致收敛性及其判别法

二、含参量反常积分的性质 定理 19.9(连续性) 设 f ( x , y ) 在 (连续性)

[a , b] × [c ,+∞ ) 连续，若 连续，I ( x) = ∫+∞ c

f ( x , y )dy

上一致收敛， 上连续。 在[a , b ]上一致收敛， 则 I ( x )在[a , b ]上连续。

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