概率论与数理统计习题2参考答案

概率论与数理统计习题2参考答案

习题2参考答案

2.1解：一颗骰子连续掷两次，两次出现的点数是相互独立的，因此基本事件的总数为6×6=36。X的所有可能取值为2,3,4，…，12。设第一次掷骰子出现的点数为ξ，第二次掷骰子出现的点数为η，则

{X=2}={ξ=1,η=1}

{X=3}={ξ=1,η=2}+{ξ=2,η=1}

{X=4}={ξ=1,η=3}+{ξ=3,η=1}+{ξ=2,η=2}

{X=5}={ξ=1,η=4}+{ξ=4,η=1}+{ξ=2,η=3}+{ξ=3,η=2}

{X=6}={ξ=1,η=5}+{ξ=5,η=1}+{ξ=2,η=4}+{ξ=4,η=2}+{ξ=3,η=3}{X=7}={ξ=1,η=6}+{ξ=6,η=1}+{ξ=2,η=5}+{ξ=5,η=2}+ {ξ=3,η=4}+{ξ=4,η=3}

{X=8}={ξ=2,η=6}+{ξ=6,η=2}+{ξ=3,η=5}+ {ξ=5,η=3}+{ξ=4,η=4}

{X=12}={ξ=6,η=6}

于是可得X的分布律为

X2

1/36

3

2/36

4

3/36

5

4/36

6

5/36

7

6/36

8

5/36

9

4/36

10

3/36

11

2/36

12

1/36

Pk

显然有P2+ P12=1。

∞

2.2解：根据∑P(X=k)=1，得∑ae

k=1

∞

k

k=1

ae 1

=1，即=1。故

1 e 1

a=e 1。

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)。(1)两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=

0202111120200.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6=0.3124C2C2C2C2C2C2

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

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P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

1102200220110.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6+0.70.3×0.40.6=0.5628C2C2C2C2C2C2

1

2

2

1

2.4解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=

121

+=15155

1232++=1515155

11[1 ()k]

1111=12.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2+4+6+ 2k+…=limk→∞222231

4111

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1 =

244

2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C40.430.61+C40.440.60=0.1792(2)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~B(5,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C50.430.62+C50.440.61+C50.450.60=0.31744

3

4

5

34

2.7解：（1）12时至15时的时间间隔为3小时，所有X～P(λ)=P(0.5×3)=P(1.5)

1.50 1.5 1.5

P{X=0}=e=e=0.22313

0!

（2）12时至16时的时间间隔为4小时，所有X～P(λ)=P(0.5×4)=P(2)20 221 2

P{X≥2}=1 P{X=0} P{X=1}=1 e e=1 3e 2=0.59399.

0!1!2.8解：设至少应配备m名设备维修人员，设发生故障的设备数为X，则X~B(180,0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(X≤m)≥0.99，也即

P(X≥m+1)≤0.01因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为

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λ=180×0.01=1.8的泊松分布。查泊松分布表得，当m+1=7时上式成立，求得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

100010001

P(1000≤X≤1500)=∫= =

1000x2x10003

1500

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,。所求的概率为

1

3

1280

P(Y=2)=C52(2×()3=5=0.329

333

2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：P{0.8<X≤1}=∫12x(1 x)2dx=(6x2 8x3+3x4)|=0.0272

0.8

0.8

1

1

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：P{0.9<X≤1}=∫12x(1 x)dx=(6x 8x+3x)|=0.0037

2

2

3

4

0.9

0.9

1

1

2.11解:要使方程x+2Kx+2K+3=0有实根则使 =(2K) 4(2K+3)≥0

2

2

解得K的取值范围为[ ∞, 1]∪[3,+∞],又随机变量K~U(-2,4)，则有实根的概率为

p=

[ 1 ( 2)+4 3]1=

4 ( 2)3

1

)200

111x x100 1 200

200

edx= e=1 e2|0200

2.12解：X~P(λ)=P(

(1)P{X≤100}=∫

100

113

x x∞ 1 200

（2）P{X≥300}=∫edx= e200|=e2

300300200

∞

（3）P{100≤X≤300}=∫

300

100

1113

x x300 1 200

2002

edx= e=e e2|100200

概率论与数理统计习题2参考答案

P{X≤100,100≤X≤300}=P{X≤100}P{100≤X≤300}=(1 e)(e

12

12

e)

32

2．13解：设每人每次打电话的时间为X，则由题设知道X~e(0.5)，则一个人打电话超

过10分钟的概率为

P(X>10)=∫0.5e

10

+∞

0.5x

dx= e

0.5x+∞

10

=e 5=0.00674

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e 5)。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为λ=282×e 5≈1.9的泊松分布。

故所求的概率为

P(Y≥2)=1 P(Y=0) P(Y=1)=1 e 1.9 1.9e 1.9=1 2.9e 1.9=0.56625105 110

2.14解：(1)P(X≤105)=Φ(=Φ( 0.42)=1 Φ(0.42)

12

=1 0.6628=0.3372

(2)P(100≤X≤120)=Φ(

120 110100 110

Φ()1212

=Φ(0.83) Φ( 0.83)=2Φ(0.83) 1=2×0.7967 1=0.5934

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，已知X~N(170,62)。由题意可

a 170

P{X≥a}=1 P{X≤a}≤0.01即P{X≤a}=Φ(≥0.99，

6查表得

a 170

=2.33，即a≈184厘米。6

2.16解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X=0}=P{1234}=P(1)P(2|1)P(3|12)P(4|123)=1817161512×××=2019181719

P{X=1}=P{A1234}+P{1A234}+P{12A34}+P{123A4}=

218171618217161818216181716232

×××+×××+×××+×××=2019181720191817201918172019181795

概率论与数理统计习题2参考答案

P{X=2}=1 P{X=0} P{X=1}=1

12323 =199595

C426

2.17解：X的可能取值为1,2,3。因为P(X=1)=3==0.6；

C510P(X=3)=

11==0.1，P(X=2)=1 0.6 0.1=0.3；3

C510

所以X的分布律为

XP

X的分布函数为

10.6

20.3

30.1

x<1 0

0.61≤x<2 F(x)=

0.92≤x<3 1x≥3

2.18解：(1)P(X<2)=F(2)=ln2

P(0<X<3)=F(3) F(0)=1 0=1

P(2<X≤2.5)=F(2.5) F(2)=ln2.5 ln2=ln1.25 x 11<x<e

f(x)=F′( …… 此处隐藏：3797字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……