2010年北京西城区高考一模试题：数学(文)及答案

北京市西城区2010年抽样测试

高三数学试卷(文科)

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I卷(选择题共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设集合P {x|x 1},Q {x|x(x 1) 0}，下列结论正确的是

A．P Q C．PØQ

B．P Q R D．QØP

y x 4 y x

2．下面四个点中，在平面区域

A．(0,0) C．( 3,2)

内的点是

B．(0,2) D．( 2,0)

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2 a4 6，则S5等于 A．10 B．12 C．15 D．30 4．若0 m n，则下列结论正确的是

A．2m 2n

B．() ()

2

2

1

m

1

n

C．log2m log2n D．log1m log1n

2

2

5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，x1，x2至z分别表示甲乙两名

运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有

A．x1 x2,s1 s2 B．x1 x2,s1 s2 C．x1 x2,s1 s2D．x1 x2,s1 s2

6．阅读右面程度框图，运行相应的程序，输出 的结果为

A．

13212113813138

B．

C．

D．

y

2

7．已知双曲线x

2

3

1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则

PA1 PF2的最小值为

A． 2 C．1

B． D．0

8116

8．如图，平面 平面 ， =直线l，A，C是 内 不同的两点，B,D是 内不同的两点，且A，B，C

D 直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点。 下列判断正确的是

A． 当|CD| 2|AB|时，M，N两点不可能重合 B． 当|CD| 2|AB|时，线段AB，CD在平面 上 正投影的长度不可能相等

C．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

D．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9．i是虚数单位，

11 i

i。

10．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为 。

11．已知|a| 2，|b| 3，a,b的夹角为60o，则|2a b| x2 x,x 0

12．已知f(x) ，若f(x) 2，则x 。

1 2lgx,x 0

13．在 ABC中，C为钝角，

ABBC

32

,sinA

13

，则角C= ，sinB= 。

14．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x M(M D)

有x l D,且f(x l) f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数。 现给出下列命题：

①函数f(x) ()为R上的1高调函数；

21

x

②函数f(x) sin2x为R上的 高调函数

③如果定义域为[ 1, )的函数f(x) x为[ 1, )上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2, )

2

其中正确的命题是。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(本小题满分12分)

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4。现从盒子中随机抽取卡片．

(I)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；

(II)若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．

16．(本小题满分12分)

已知 为锐角，且tan((I)求tan 的值； (II)求

4

) 2。

sin2 cos sin

cos2

的值。

17．(本小题满分14分)

如图1，在三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，AC BC，D为侧棱PC上一点， 它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示． （I）证明：AD 平面PBC； （II）求三棱锥D ABC的体积；

（III）在 ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长

18．（本小题满分14分）

椭圆C:（I）

xa

22

yb

22

1(a b

0)的离心率为

2

，且过(2,0)点。

求椭圆C的方程；设直线l:y x m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若 OAB直角三角形，求m的值。

19．（本小题满分14分）

设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn=na1 (n 1)a2 ... 2an 1 an，

n N，已知b1 m,b2

*

3m2

，其中m 0。求数列{an}的首项和公比；

（I）

当m 1时，求bn；

（II）

设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn [1,3]，求实数m的取值范围。

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x) (x2 mx m)ex,其中m R。 （I） （II）

若函数f(x)存在零点，求实数m的取值范围；

当m 0时，求函数f(x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．

12 12

i 10．

4

11．3 12． 1或 13．150°；

22

6

3

14．②

③

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 14题②③选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评

分标准给分.） 15．（本小题满分13分） 解：（I）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、

3、4），（2、3、4）. 2分 其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4）， 4分

所以P(A)

12

. 6分

（II）设B表示事件“至少一次抽到3”，

第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、

4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），其16个基本结果. 8分 事件B包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），

其7个基本结果. 8分

所以所求事件的概率为P(B)

4

116

. 12分

16．解：（I）tan( )

1 tan 1 tan

, 2分

所以

1 tan 1 tan

13

2,1 tan 2 2tan ,

所以tan . 5分

（II）

sin2 cos sin

cos2

2

2sin cos sin

cos2

2

sin (2cos 1)

cos2

13