集合之间的关系

复习回顾1.集合元素的特征有哪些?

2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示?3.常用集合有哪些，他们用什么符号表示？ 4.集合的表示法有哪些?

检验性练习1、 用 符 号 “ ” 或 “ ” 填 空 ： ( 1) 0___N (2)-3___Z (3)0___ ( 4) a___{a} { a } _ _ _ { , { a }} 3.14___Q (-3) ___N 0____{0} a _ _ _ _ { , { a }}0

___Q3_ _ _ R

_ _ _ { , { a }}

2、用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组 成的集合”{5,-1}(列举法) {x||x-2|=3}或者{x|x与2相差3的整数}

x + y= 3 3、可 以 表 示 方 程 组 { 的 解 集 的 是 ______ x y 1(1) {x=1,y=2} (3) {(1,2)} (5) {(x,y)|x=1且 y=2}2

(2) {1,2} (4) {(x,y)|x=1或 y=2} ( 6 ) { ( x , y) | {2

x 1 y 2

}

( 7 ) { ( x , y) | ( x - 1 ) + ( y - 2 ) = 0 }

情境引入问题一 观察例子，说出集合A与集合B元素间的关系 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} (2)A=N,B=Q (3)A={-2,4}, B { x | x 2 2 x 8 0} 问题二 “截止到2005年1月5日，在2004年12月发生的印度洋海啸中遇难人数达到了数十万，其中印尼超过了9万人”在这一 事件中，遇难者构成了一个集合，其中印尼的遇难者构成了一 个集合，这两个集合的元素有什么关系？

关系:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素

1.子集：一般地，如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。

(1)子集

记作：A B (或B A )读作:“A包含于B”(或B包含A)如果集合P中存在着不是集合Q的元素，那么集合P不 包含于集合Q,或者Q不包含P,分别记作P Q 或 Q P

(2)规定：空集是任意一个集合的子集。

( 3) 真 子 集

如 果 集 合 A B, 但 存 在 x B ,

且 x A , 则 称 集 合 A 是 集 合 B的 真 子 集 。

记作A B 或 B A

注：由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是B的真子集和A 与B 相等两种情况。与实数中的关系类比 是：

思考：1、如何用维恩图表示上面第一个例子中两 个集合的包含关系？A

B

2、A={x|x是长方形}, B={x|x是平行四边形},

C={x|x是菱形},

D={x|x是正方形},

请指出这几个集合之间的关系，并尝试用维 恩图表示。

3、(1)A是A的子集吗？(2)由2中，D、A、B 和D、C、B的关 系你想到什么？这种关系在任何集合中都成 立吗？ (3) 空集是任何集合的真子集，对吗？ 怎样修改一下这句话就对了？

结论：1、反身性：任何集合是它自身的子集， 即 A A 2、传递性：如果A是集合B的子集，集 合B是集合C的子集，那么集合A 是集合 C的子集。即若 A B ,且 B C ,则 A C

3、空集是任何集合的子集，是任

何非 空集合的真子集。即 A

例1 写出集合A={1,2,3}的所有 子集和真子集。

练习：P13 练习A1、3

2、集合相等一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的 元素，反过来，集合B 的每一个元素也是集合A的 元素，那么我们就说集合A等于集合B。

符号语言：如 果 A B 且 B A, 则 A B 如 果 A =B , 则 A B且 B A

例2

说出下列每对集合之间的关系(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5} (2)P={x|x2=1},Q={x| |x|=1} (3)C={x|x是奇数},D ={x|x是整数}如果“x是奇数”,那么“x是整数”正 确吗？此时两个集合有什么关系？反之呢？

思考：已知集合A的特征性质为p(x),集合B的特 征性质为q(x),“如果p(x),则q(x)” 是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？

3.集合关系与其特征性质之间的关系一 般 的 ， 设 A = { x| p ( x ) } , B = { x| q ( x ) } 。 如 果 A B, 则 x A x B, 于是 即 x 具 有 性 质 p ( x ) x 具 有 性 质 q ( x ) p ( x ) q ( x )

反 之 ， 如 果 p ( x ) q ( x ) , 则 一 定 有 A B。

如 果 命 题 “ p ( x ) q ( x ) ” 和 命 题 “ q ( x ) p ( x ) ” 都 是 正 确 的 命 题 ， 这时我们常说，一个命题的条件和结论 可以互相推出。 符号表示为“ ”。思 考 ： 设 A = { x| p ( x ) } , B = { x| q ( x ) } 。 如 果 p ( x ) q ( x ) , 则 A 和 B 是 什 么 关 系 ？ 反之呢？

例3

P13

例3

练习：P13 练习A 2