二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续P P0

lim f ( P ) A 0, 0,

P D : 0 || P P0 || , 有

| f (P) A | ,

x x0 y y0

lim f ( x , y ) A 0, 0, ( x , y ) D:

|x x0 | , |y y0 | , 且( x, y ) ( x0 , y0 ), 有| f ( x, y ) A | ,

二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

二、二元函数的连续性1、连续的概念

D R 2 上的二元函数, 定义1 设 f(P) 为定义在点集P0 D. 若 lim f ( P ) f ( P0 )P P0

即 0, 0, P D :|| P P0 || , 有

| f ( P ) f ( P0 ) |

则称函数f ( P )在点P0连续.定义2 若二元函数 f (P)在 D 上任何点都连续,则称

f (P)在D连续.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

设P ( x , y ), P0 ( x0 , y0 )lim 函数f ( P )在点P0连续 x x f ( x , y ) f ( x0 , y0 )y y00

0, 0, ( x , y ) D:|x x0 | ,

|y y0 | , 有 | f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) | .2、用增量形式描述连续性

设P ( x , y ), P0 ( x0 , y0 ) D, x x x0 , y y y0 , z f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )称 z为f ( x, y )在点P0 ( x0 , y0 )的 全改变量.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

函数f ( P )在点P0连续 lim z 0 x 0 y 0

如果在全改变量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的 改变量称为偏改变量, 分别记作 z x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ), z y f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ).

若 lim z x 0, x 0

则表示当固定 y y0 时, f ( x , y0 ) 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 也称f ( x, y )在点( x0 , y0 )关于自变量x连续.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

若 lim z y 0, y 0

f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.

也称f ( x, y )在点( x0 , y0 )关于自变量y连续.

注: 若f x , y 关于双变量连续，则f x , y 关于每一变量都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.

二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

x 0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0 f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.

xy , x2 y2 0 2 x y2 例如f ( x , y ) 0, x2 y2 0

0 y lim f 0, y lim 0 f 0, 0 , 2 y 0 y 0 0 y

f x , y 关于变量y在 0, 0 点连续.但函数在原点(0,0)不存在极限.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

3、二元连续函数的局部性质定理2 若二元

函数f ( P )与g( P )在点P0连续，则

f ( P ) g( P ), f ( P ) g( P ),都在P0连续.定理3 (复合函数的连续性)

f (P) ( g( P0 ) 0) g( P )

若函数u ( x , y )和

且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，

f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

证： f ( u, v )在( u0 , v0 )连续，即 0, 0, (u, v ) : | u u0 | , | v v0 | , 有 | f ( u, v ) f ( u0 , v0 ) | .

又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 0, 0, ( x , y ) :| x x0 | , | y y0 | , 有

| ( x , y ) ( x0 , y0 ) | ,

| ( x , y ) ( x0 , y0 ) | .

综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .

所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

定理4 (局部保号性) 若二元函数f ( P )在点P0连续，且

f ( P0 ) 0, 则 0, P U ( P0 , ) D, 有f ( P ) 0.

4、有界闭区域上连续函数的性质有界性，最值性，介值性，一致连续性 定理5 ( 有界性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域

D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域

D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .二元函数的连续性

§10.2 二元函数的极限与连续

定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域

D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的2

最小值和最大值， : m M,

则必存在P0 D,使得f ( P0 ) .定理8 (一致连续性) 若二元函数f ( P )在有界闭区域

D R2上连续， 则f ( P )在D一致连续.

f ( P )在D一致连续 0, 0, P1 , P2 D :

|| P1 P2 || ,有 | f ( P1 ) f ( P2 ) | .二元函数的连续性