关于求空间的角的问题

来源：网络收集时间：2026-05-02

导读：题目高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想空间角的计算步骤一作、二证、三算 1异面直线所成的角 0＜θ≤90 方法①平移法；②补形法 2直线与平面所成

题目高考要求

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想

空间角的计算步骤一作、二证、三算

1异面直线所成的角 0°＜θ≤90° 方法①平移法；②补形法

2直线与平面所成的角范围0°≤θ≤90° 方法 3二面角

方法①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法

注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线a,b所成的角：cos cos a,b ；

⑵直线a与平面 (法向量n)所成的角：sin cos a,n ； ⑶锐二面角：cos cos m,n ，其中m,n为两个面的法向量。典型题例示范讲解

例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′

中，E、F分别是BC、A′D′的中点

(1)求证四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角命题意图本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强

知识依托平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角

错解分析对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面

技巧与方法求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法

(1)证明如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=

a,下2

A′

证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGB′知，B′EGA′是平行四边形

∴B′E∥A′G,又A′

F DG,∴A′GDF

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形

(2)解如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角

在△A′CP中，

5a,A′P=a 22由余弦定理得cosA′CP

故A′C与DE所成角为

如图建立坐标系，则

易得A′C=3a，CP=DE=

A (0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,,0)

a AC (a,a, a),DE (a, ,0)

A C DE cos A C,DE |A C||DE| (3)解∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′

故A′C与DE所成角为在Rt△B′AD中，AD=2a，AB′=2a,B′D=2a 则cosADB′

3 3

故AD与平面B′EDF所成的角是

∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则

A(0,0,0),B (a,0,a),D(0,a,0)

DA (0, a,0),DB (a, a,a)

DA DB cos DA,DB ， |DA||DB |故AD与平面B′EDF所成的角是

(4)解如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心

作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，

故∠OMH为二面角B′—DE′—A 25a,OD=a,斜边DE=a, 222OD OE30

则由面积关系得OM=a

DE10OH

在Rt△OHM中，sinOMH=

OM6

故面B′EDF与面ABCD所成的角为

如图建立坐标系，则

在Rt△DOE中，OE=

A(0,0,0),A (0,0,a),B (a,0,a),D(0,a,0),E(a,,0)，

所以面ABCD的法向量为 m AA (0,0,a),

下面求面B′EDF的法向量n

设n (1,y,z)，由ED ( a,,0),EB (0, ,a),

a a y 0 y 2 n ED 0 2

n ED 0 ay az 0 z 1

∴n (1,2,1)

n m

∴

cos n,m

|n||m|

故面B′EDF与面ABCD所成的角为例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°

求(1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值命题意图本题主要考查利用向量法来解决立体几

何问题

知识依托向量的加、减及向量的数量积

错解分析注意＜AA＞=＜AA1,AD＞1,AB

=120°而不是60°,＜AB,AD＞=90°

解:(1)|AC1| AC1 AC1 (AA1 AC)(AA1 AC)

(AA1 AB AD)(AA1 AB AD)

2 2 2 |AA1| |AB| |AD| 2AA1 AB 2AA1 AD 2AB AD

2 2

由已知得:|AA1| b,|AB| |AD| a2

AA1,AB AA1,AD 120 , AB,AD 90 11

AA1 AB b acos120 ab,AA1 AD b acos120 ab,AB AD 0,

|AC1| 2a2 b2 2ab, |AC1|

技巧与方法数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用

(2)依题意得,|AC| ,AC AB AD BD1 AD BA AA1 AD AB AC BD1 (AB AD)(AA1 AD AB)

AB AA1 AD AA1 AB AD AD AB AB AD ab 2 |BD1| BD1 BD1 (AA1 AD AB)(AA1 AD AB) 2 22

|AA1| |AD| |AB| 2AA1 AD 2AB AD 2AA1 AB 2a2 b2

|BD1| 2a2 b2

BD1 AC

cos BD1,AC |BD1||AC|

∴BD1与AC

例3如图， l 为60°的二面角，等腰直角

三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角

(1)求证MN分别与α、β所成角相等；

(2)求MN与β所成角

(1)证明作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA

在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA

在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB

≌△

NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立

(2)设∠MNB=θ,MN=2a,则PB=PN=a,MB=NA=2asinθ，

NB=2acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，

∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,

36MB2

asinθ,CN=DM=MB 6asinθ,

336sin60 3

∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN

PCBD

∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

PNPB

∴BD=AC=

…… 此处隐藏：4413字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

关于求空间的角的问题.doc 将本文的Word文档下载到电脑，方便复制、编辑、收藏和打印

下载这篇word文档

本文链接：https://www.jiaowen.net/wendang/1417056.html（转载请注明文章来源）

上一篇：基因打靶技术及其应用前景
下一篇：英国留学申请文书