66向量空间的同构

66向量空间的同构

6.6向量空间的同构 6.6向量空间的同构一、内容分布 6.6.1 同构映射 6.6.2 同构映射的性质 6.6.3向量空间的同构 向量空间的同构 二、教学目的 1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义. 理解向量空间同构的概念、性质及重要意义 理解向量空间同构的概念 2.掌握有限维向量空间同构的充要条件 掌握有限维向量空间同构的充要条件. 掌握有限维向量空间同构的充要条件 重点、 三、重点、难点 向量空间同构的概念，同构的判别 向量空间同构的概念，同构的判别.

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6.6.1 同构映射定义1 定义 是两个向量空间。 设 (V, F)、 (W, F)是两个向量空间。V 到W的一个映射 的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果 叫做一个同构映射， 的双射； (i)f 是V到W的双射； ) 到 的双射 (ii) α , β ∈ V f (α + β ) = f (α ) + f (β ) ) ; (iii) a ∈ F, α ∈ V f (aα ) = af (α.) )

6.6.2 同构映射的性质1. 设f 是V 到W 的同构映射，则 f 1是W 到V 的同构 的同构映射， 映射。 映射。

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2. 设 f 是V到W的同构映射，则 的同构映射， 到 的同构映射 (i )f (0) = 0

(ii) α ∈ V f ( α ) = f (α ) ii) (iii) a, b ∈ F, α , β ∈ V f (aα + bβ ) = af (α ) + bf (β ) iii) (iv) )

f (a1α1 + L + anα n ) = a1 f (α1 ) + L + an f (α n ) 其中 ai ∈ F , α i ∈V

(v) α1 , α 2 ,L, α n 线性相关 f (α1 ), f ( α 2 ),L, f (α n ) 线性相关. 线性相关.

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3. 设 (V, F)、 (W, F)是两个向量空间，1 , α2 ,L, αn V 是两个向量空间， 是 α 的基， 的同构映射， 的基，f 是V到W的同构映射，则f (α1 ), f ( α2 ),L, f (αn ) 到 的同构映射 的基. 是W的基 的基 证明:易知 线性无关. 证明 易知 f (α1 ), f ( α2 ),L, f (αn ) 线性无关 其中 β = f (ξ ) ∈W ,其中 ξ ∈V , 于是 所以 故

ξ = a1α1 + L + anαn f (ξ ) = a1 f (α1 ) + L + an f (αn )f (α1 ), f ( α2 ),L, f (αn ) 是W的基 的基

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6.6.3 向量空间的同构 向量空间的同构如果两个向量空间 (V, F) 与(W, F)之间可以建立一个 同构映射,那么就说 同构,记作 同构映射 那么就说 (V, F)与(W, F)同构 记作 (V, F) (W, F) . 注意:一个向量空间就是一个带有加法和标量与向量的 注意:一个向量空间就是一个带有加法和标量与向量的 乘法的集合,我们的着眼点是运算 至于这个集合的元素 乘法的集合 我们的着眼点是运算,至于这个集合的元素 我们的着眼点是运算 是什么无关紧要.因而同构的向量空间从本质一讲是一 是什么无关紧要 因而同构的向量空间从本质一讲是一 样的. 样的

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定理1 定理设 (V, F, dimV = n) ,则 V Fn 。

定理2 定理向量空间的同构是一个等价关系. 向量空间的同构是一个等价关系

定理3 定理

(V,

F, dimV

= n) (W, F, dimW = m) n = m

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证明: n=m,令 证明:若n=m,令{ α1 , α2 ,L, αn}是V的基, { α1 , α2 ,L, αn} }是 的基, 是W的基, 的基, 定义: 定义: f : V → W ;

ξ = a1α1 + L + anαn ∈V

ξ → f (ξ )

f (ξ ) = a1α1′ + L + anαn′ ∈W易知f是V到W的一个同构映射.所以

( V,

F, dimV = n) ( W, F, dimW = m)

反过来,若 ( V, F, dimV = n) ( W, F, dimW = m) 令{α1 , α2 ,L, αn }是V的基,则{ f (α1 ), f ( α2 ),L, f (αn )} 是W的基,故n=m