第一节 特征值问题和特征向量

微积分 线性代数

第五章

微积分 线性代数

方阵的特征值、 方阵的特征值、特征向量及方阵的 相相对角实理论与方求不仅在线性代数 的理论中占有十分重要的地位， 的理论中占有十分重要的地位，而且在 求分方程、系统理论、控制理论、规划、 求分方程、系统理论、控制理论、规划、 数量经济分析、 数量经济分析、工程技术及经济管理的 许多动态模型中都有广泛的应应. 许多动态模型中都有广泛的应应. 本章主要讨论方阵的特征值、 本章主要讨论方阵的特征值、特征 向量及方阵的相相对角实理论与方求. 向量及方阵的相相对角实理论与方求. 其主要知识结构如下: 其主要知识结构如下:2

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方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量

概概 特征值与特征向量 求求 性性 概概，性性 方阵的对角实 相相矩阵 实对称阵的对角实 * 若当若若若 k 求A 应应 求A 求解求分方程组等

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§5.1 矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的基本概念和求法定义5.1 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 λ , 定义 阶方阵， 以及一个非零 n 维列向量 α ,使得

Aα = λα 特征值， 则称 λ 为矩阵 A 的 特征值，而 α 称为矩阵 A 的属于 特征向量。 特征值 λ 的特征向量。 1 例如， 例如， 1 1 所以矩阵 1 1 1 2 1 = = 2 , 3 1 2 1 1 1 有一个特征值 2, 而 是对应的特征向量。 1 是对应的特征向量。 4 3

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m × n n×1

Aα = λα

m ×1

特征值问题是针对方阵而言的； 方阵而言的 说明 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 特征向量必须是非零向量； 非零向量 3、特征向量既依赖于矩阵A,又依赖于特征值 λ . 特征向量既依赖于矩阵 ， 显然：(1)一个特征向量只属于一个特征值，事实上 显然： 一个特征向量只属于一个特征值，的特征向量， λ2 的特征向量， 即 Aα = λ1α , Aα = λ2α , ( λ1 λ2 )α = θ 设 α 是同时属于特征值 λ1 和

而 α ≠ θ λ1 = λ2 . 矩阵A (2) 矩阵A的属于特征值 λ 的特征向量 α 的非零倍 kα 仍为A的属于 λ 的特征向量. 仍为A 的特征向量. 5

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(3) 矩阵A的属于同一特征值 λ 的特征向量 α1 , α 2 ,L , α s 矩阵A 仍为A 的非零线性组合 k1α1 + k 2 α 2 + L + k s α s仍为A的属于 λ 的 特征向量. 特征向量. A,B均为 阶矩阵， AB与BA有相同的特征值 均为n 有相同的特征值. (4) 设A,B均为n阶矩阵，则AB与BA有相同的特征值. 由定义5.1 5.1知 由定义5.1知: 为方阵

A α 为方阵A的属于特征值 λ0的特征向量

Aα = λ0 α ,即 (λ0 E A)α = O (α ≠ O)0

α 是齐次线性方程组 (λ E A) x = O 的非零解 λ0 E A = 0 .

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λ a11 a 21 记 f (λ) = λE A = L a n1

a12 L a1n λ a 22 L a 2 n , L L L a n 2 L λ a nn

它是 λ 的 n次多项式 , 称为矩阵 的特征多项式， 称为矩阵A的特征多项式，

称以 λ为未知数的一元 n 次方程

λE A = 0为矩阵A的特征方程。 为矩阵 的特征方程。 特征方程的根，即为矩阵 的特征值 的特征值。 特征方程的根，即为矩阵A的特征值。7

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根据上面的分析可得 定理5.1 为数域F上的n阶矩阵, 定理5.1 设 A = (a ij )为数域F上的n阶矩阵,则 是方阵A 是方程在数域F内的根. (1) λ 0 是方阵A的特征值 λ 0 是方程在数域F内的根. 为方阵A (2) α 为方阵A的属于特征值 λ 0 的特征向量 α 是 n元齐次线性方程组 (λ0 E A) x = O 的非零解. 的非零解. 由此可得:求数域F上的n 由此可得:求数域F上的n阶矩阵A = (a ij ) 的特征值与 特征向量的步骤: 特征向量的步骤: (1)求出 在数域F (1)求出 f A (λ ) = λE A = 0 在数域F内的所有不同根 即为的全部特征值. λ1 , λ2 ,L, λ s ,即为的全部特征值. 求出n (2) 对A的每一特征值 λi ,求出n元齐次线性方程 L (λi E A) x = O 组的一个基础解系 α i1, α i 2, , α it ,则A的 属于特征值 λi 的全部特征向量为 k1α i1 + k 2 α i 2 + L k t α it ( k1 , k 2 , L , k ti ∈ F 不全为零). 不全为零).ii i

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例1

求矩阵

4 1 2 A = 2 1 2 2 1 0

的特征值与特征向量. 的特征值与特征向量. 解λ 4f A (λ ) = λ E A = 2 2 1 2 λ 2 2 λ 0 λ 2 0 0 λ 1 2 = 2 λ 1 2 = 2 λ 3 2 1 λ 1 λ 2 2 1 λ

= (λ 2) 2 (λ 1)

故A的特征值为 λ1 = λ 2 = 2, λ3 = 1 . 对 λ1 = λ2 = 2 ,解方程组 ( 2 E A) x = O ,由9

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为自由未知量), 得一般解: 得一般解: x 2 = 2 x1 2 x3 ( x1 , x3 为自由未知量), α1 = (1,2,0) T , α 2 = (0, 2,1) T ,所以 得基础解系为 A的属于λ1 = λ2 = 2 的全部特征向量为 k1α1 + k 2 α 2 是不全为零的任意常数). ( k1 , k 2 是不全为零的任意常数). 对 λ3 = 1 ,解方程组

( E A) x = O , 由

得一般解 x1 = x3 x 为自由未知量), x 2 = x3 ( 3 为自由未知量), α 3 = (1,1,1) T ,所以A的属于λ3 = 1 的全 所以A 得基础解系为 是任意非零常数). 部特征向量为 k 3 α 3 ( k 3 是任意非零常数). 10

3 1 2 1 0 1 E A = 2 0 2 → 0 1 1 2 1 1 0 0 0

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2 1 1 例2 设 A = 0 1 0 , 求A的特征值与特征向量。 的特征值与特征向量。 0 2 1

λ 2解

λE A =

0 0

1 1 λ +1 0 2 λ 1

= (λ 2)(λ + 1)(λ 1) = 0 ,所以A的特征值为 所以 的特征值为 λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 1 .

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λ 2 λE A =0 0

1 1 λ +1 0 2 λ 1

λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 1 .

0 1 1 0 1 1 对 λ1 = 2 , 2E A = 0 3 0 → 0 0 1 , 0 0 0 0 2 1 1 相应齐次线性方程组的基础解系为 α 1 = 0 , 0 因此属于特征值 λ1 = 2 的全部特征向量为 k1α 1 ( k1 ≠ 0) ;12

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λ 2 λE A =0 0

1 1 λ +1 0 2 λ 1

λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 1 .

3 1 1 3 1 1 对 λ2 = 1 , E A= 0 0 0 → 0 1 1 , 0 2 2 0 0 0 0 相应齐次线性方程组的基础解系为 α 2 = 1 , 1 因此属于特征值 λ2 = 1 的全部特征向量为 k2α 2 ( k2 ≠ 0) ;13

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λ 2 λE A =0 0

1 1 λ +1 0 2 λ 1

λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 1 .

1 1 1 1 1 1 对 λ3 = 1 , A = 0 2 0 → 0 1 0 , E 0 2 0 0 0 0 1 相应齐 …… 此处隐藏：2664字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……