2016届高考数学一轮复习 10.10二项分布、超几何分布、正态分布课

来源：网络收集时间：2026-06-01

导读：高考总复习数学(理科) 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第十节二项分布、超几何分布、正态分布考纲要求 1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些栏目链接简单的实际问题.3.

高考总复习数学(理科)

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第十节二项分布、超几何分布、正态分布

考纲要求

1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些栏目链接

简单的实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线

所表示的意义.

课前自修基础回顾

一、独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.

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二、二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发k n-k 生 k 次的概率是 P(ξ=k)=Ck ,其中 k=0,1, ,n,q=1-p. np q

于是得到随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ P 00 n C0 np q

11 n-1 C1 np q

kk n-k Ck np q

nn 0 Cn np q

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我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ~B(n,p),其中 n,p 为参数，p 叫成功概率.0 n 令 k=0 得，在 n 次独立重复试验中，事件 A 没有发生的概率为 P(ξ=0)=C0 np (1-p)

=(1-p)n.n 0 n 令 k=n 得，在 n 次独立重复试验中，事件 A 全部发生的概率为 P(ξ=n)=Cn np (1-p) =p .

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三、超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事n-k Ck · C M N-M 件“X=k”发生的概率为 P(X=k)= ,k=0,1,2, ,m,其中 m n CN

=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列 X P 0n- 0 C0 · C M N-M Cn N

1n- 1 C1 · C M N-M Cn N

2n- 2 C2 · C M N- M Cn N

mn-m Cm · C M N-M Cn N

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为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布.

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四、正态分布密度函数(x-μ) 1 φ μ ,σ (x)= e- ,σ >0,x∈(-∞,+∞)其 2 2 σ 2π σ 中π 是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ 为正态分布的均值，σ 是正态分布的标准差. 正态分布一般记为 N(μ,σ 2).2

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五、正态曲线(x-μ)2 1 函数 φμ ,σ (x)= e- , x∈(-∞, +∞), 实数 μ 和 σ(σ>0) 2 2 σ 2π σ 为参数，其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 标准正态曲线：当 μ=0,σ =1 时，正态总体称为标准正态总体，其 1 x2 相应的函数表示式是 f(x)= e- ,x∈(-∞,+∞)其相应的曲线称为 2 2π 标准正态曲线.

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六、正态分布如果对于任何实数 a<b,随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=aφ μ ,σ (x)dx,则称 X 的分布为正态分布，参数 μ 表示随机变量 X 的均值，参数 σ 表示

随机变量 X 的标准差，记作 X~N(μ,σ 2),其中 N(0, 1)称为标准正态分布. 正态分布 N(μ,σ 2)是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分布. 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位.b

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七、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (简称三个基本概率值)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ -3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.

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八、3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ,σ 2)的随机变量 X 只取(μ-3σ,μ +3σ)之间的值，并简称之为 3σ 原则. 正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ +3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有 0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.

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九、几个重要分布的期望和方差1.若 X 服从两点分布，则 E(X)=p,D(X)=p(1- p). 2.若 X~B(n, p), 则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).n- k Ck C M M N-M 3. 若 X 服从超几何分布 P(X=k)= , 则 E(X)= n, D(X) N Cn N

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nM M N-n = · 1- N . N N-1

课前自修基础自测1. (2013· 惠州一模)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3, 4), 若 P(ξ<2a -3)=P(ξ>a+2),则 a 的值为( A ) 7 A. 3 5 B. 3 C.5 D.3

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解析：因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),且 P(ξ<2a-3)= P(ξ>a+2), 所以 2a-3 与 a+2 关于 x=3 对称，所以 2a-3+a+2=6, 7 所以 3a=7,所以 a= ,故选 A. 3

课前自修2.正态总体 N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为 P1,P2,则( C ) A.P1>P2 B.P1<P2 C.P1=P2 D.不确定

解析：根据正态曲线的特点知，关于x=0对称，

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即在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等.故选C.

课前自修3.在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，则取到的次品数 X 的分布列为________________________________.

解析：X服从超几何分布.

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课前自修4.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 ξ 个红球，则随机变量 ξ 的概率分布为： ξ 0 1 2

______

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C22 1 C31C21 3 解析：由题意可知：P(ξ=0)= 2= ,P(ξ=1)= = ,P(ξ C5 10 C52 5 C32 3 =2)= 2= . C5 10

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