高一数学必修4 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模》课件

2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学科网

教学目标 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运 算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会 证明两向量垂直，以及能解决一些简单问 题. 教学重点： 平面向量数量积及运算规律. 教学难点： 平面向量数量积的应用

一、复习引入(1) a b a b cos ( 2) a a a 或 a 2

a a; a b a b .

a b a b 0; cos

我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？

二、新课学习1、平面向量数量积的坐标表示

如图，i是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，由于 a b a b cos 所以1 . j j 1 . i i i j j i 0 .

y A(x ,y ) 1 1j

B(x2,y2)b

a

o i

x

下面研究怎样用

a和b的坐标表示a b.设两个非零向量a

a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2

=(x1,y1), b=(x2,y2),则

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即学科网 y A(x ,y )1 1

a b x1 x2 y1 y2 .

B(x2,y2)bj

ai

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

2、向量的模和两点间的距离公式(1) a a a 或 a 2

a a;

(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a 2 2 2 2 2

x y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB (x1 x2 ) y1 y2 ) (2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a b a b 0

设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 ( a b x1 x2 y1 y2 0(2)平行

设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 ( a// b x1 y2 x2 y1 0

4、两向量夹角公式的坐标运算设a与b 的夹角为 (0 180 ),

则 cos

a b ab

设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为 , ( (0 180 )则 cos 2 1 2 1 2 2

x1 x2 y1 y2 x y x y2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x y 0, x y 0.

三、基本技能的形成与巩固例1 (1)已知a ( 1,2 3 ), b (1,1), 求a b, b , b的夹角 . a a与

a b 1 3, a b

a b 2 4 2 3 2(1 3),

1 cos , 0 180 , 60 . a b 2

(2)已知a (2,3), b ( 2,4), 则(a b) a b) ( .法一： b (0,7), a b (4, 1) a a b) a b) 0

4 7 ( 1) 7. ( ( 法二：(a b) a b) a b ( 2 2 2 2

a b 13 20 7练习：课本P1191、2、3.

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断 ABC的形状，并给出证明.

y B(2,3) A(1,2) x0

C(-2,5) 证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)AC ( 2 1,5 2) ( 3,3) AB AC 1 ( 3) 1 3 0

AB AC

三角形 ABC是直角三角形 .

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角三角形OAB, B=90 ,求点B的坐标.y 3 7 B 答案：B的坐标为( , ) 2 2 7 3 或( , ) 2 2 O

A x

四、逆向及综合运用例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .

(2)已知a 10, b (1,2),且a // b,求a的坐标.

3 (3)已知a (3,0), b (k ,5),且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.3 4 3 4 答案：( ) ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 (2)( 2, 2)或( 2, 2 2);(3)k 5. 2

提高练习1、已知OA ( 3,1), (0,5),且 AC // OB, OB BC AB ,则点C的坐标为29 C ( 3, ) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b a = (1,2), = (-3,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1 .3、已知

小结

1、理解各公式的正向及逆向运用； 2、数量积的运算转化为向量的坐 标运算；学科网 3、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式，形成转化技能。作业

课本P119A组5(1),9,10,11.