第09章 应用题 高考理科数学名校好题分项版汇编

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第九章应用题

1.【淮海中学2019届高三上第二阶段测试】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米，

米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，

都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为

元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.

（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？

（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.

【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.

试题解析：

（1）如图,设直线矩形交于两点，连，则米，米．

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梯形的面积为平方米，

矩形的面积为平方米，

由，得扇形和扇形的面积均为平方米，故阴影部分面积为平方米．

（2）设，则，

所以，

修建费用，

所以，

令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

极小值

由上表可得当时，即，有极小值，也为最小值．

故当为时，修建费用最低．

2.【常州市武进区2019届高三上学期期中】常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载

2

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客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.

⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；

⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

【答案】（1）1040；（2）120

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．

【详解】

（1）由题意知，，（为常数），

∵，

∴，

∴，

∴，

故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人．

（2）由，可得

，

①当时，，当且仅当时等号成立；

②当时，，当时等号成立，

∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．

答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.

【点睛】

（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最

3

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值，然后比较大小后可得分段函数的最值．

（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．3. 【金陵中学2019高三第一学期期中】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD ＝米，记∠BHE ＝．

（1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数，并写出定义域；

（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．

【答案】（1），；（2）或时，L 取得最大值为米．.【解析】

【分析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．

所以当时，即或时，L 取得最大值为米．

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设，则，由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L 取得最大值为米．

4.【清江中学2019届高三第二次调研】如图为某大河的一段支流，岸线近似满足∥宽度为7圆为河中的一个半径为2的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切，设

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出其定义域.

（2）求通道的最短长.

【答案】（1）(2)

【解析】

【分析】

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(1)过点作于点，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，先求出，

再求出，即可求出，再求函数的定义域.(2)利用导数求函数的最小值,即得通道ABC的最短长．

【详解】

(1)过点作于点，

因为与的距离为，

所以，

以为原点，建立如图所示的直角坐标系，

因为，所以设，

则直线的方程为，即

因为与圆相切，圆的半径为，

所以，

因为，所以，

即，

所以，

由于，所以，

令，

则因为函数在上单调递减，所以，

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即函数的定义域为.

(2

令，得，则，其中，且.

由，得，

0+

极小值

所以当时，，

即通道的最短长为.

5.【扬州中学2019届高三10月考】为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元．

（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；

（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.

【答案】（1）；（2）

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【解析】

【分析】

（1）设∠ABO=θ，三条道路建设的费用相同，则，利用三角变换求解；（2）总费用，即，求导判断极值点，令，再转换为三角变换求值解决．

【详解】

（1）不妨设,依题意，，且

由

若三条道路建设的费用相同，则

所以所以。

由二倍角的正切公式得，，即

答：该文化中心离N 村的距离为

（2）总费用

即，令

当

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