高二理科数学导数解答题专题复习

高二理科数学期末复习资料

高二理科数学导数大题训练

1.对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本y（单位：万元）和生产收入z（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，它们分别为y x3 24x2 63x 10和z 18x. （1）试求出该企业获得的生产利润w（单位：万元）与产量x之间的函数关系式； （2）当产量x为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？

2.已知k为实数，f(x) (x2 4)(x k).

（1）求导数f (x)；

2]上的最大值和最小值； （2）若x 1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[ 2，

2 和 2，∞ 上都是单调递增的，求实数k的取值范围． （3）若f(x)在区间 ∞，

2x2

3.已知函数f(x) ln(x a) x x,g(x) x e x 1(x 0),且f(x)点x 1处取得

极值．

（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若关于x的方程f(x)

5

x b在区间[1,3]上有解，求b的取值范围； 2

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4. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

5.已知函数f(x) px

p

2lnx． x

(1)若p 3，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若p 0且函数f(x)在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围； (3)若函数y f(x)在x (0,3)存在极值，求实数p的取值范围．

6.已知函数f(x) lnx

a

(a 0) x

(1)当a 1时，求f(x)的单调区间；

1

(2)如果P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上的任意一点，若以P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒

2成立，求实数a的最小值；

x3 2(bx a)1

的实根的个数情况． (3)讨论关于x的方程f(x)

2x2

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高二理科数学导数大题训练参考答案

1.解：（1）w z x

18x (x3 24x2 63x 10)

x3 24x2 45x 10, 2分

即w x3 24x2 45x 10(x 0). 4分（注：不写定义域“x 0”扣1分） （2）w' 3x2 48x 45 3(x 1)(x 15). 5分

令w' 0，得x 1或x 15. 6分 当x变化时，w',w的变化情况如下表：

由上表可知：是函数的唯一极大值点，也是最大值点.所以，当x 15时，w取得取最大值1340. 11分

答：当产量x为15t时，该企业可获得最大利润，最大利润为1340万元. 12分 2.解：（1）

f(x) x3 kx2 4x 4k，∴f (x) 3x2 2kx 4． 3分

11

（2）由f ( 1) 0，得k . f(x) x3 x2 4x 2，

22

f (x) 3x2 x 4． 6分

4

． 7分 3

509 4

又f( 2) 0，f( 1) ，f ，f(2) 0，

272 3

由f (x) 0，得x 1或x

∴f(x)在区间[ 2，2]上的最大值为

950

，最小值为 ． 9分 227

（3）f (x) 3x2 2kx 4的图象是开口向上且过点(0，-4)的抛物线. 由已知，得

f ( 2) 4k 8 0,

11分

f(2) 4k 8 0,

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∴ 2 k 2， k的取值范围为[ 2，2]． 13分

'

3.解：（Ⅰ）∵f(x) ln(x a) x2 x，∴f(x)

1

2x 1 x a

∵函数f(x) ln(x a) x2 x在点x 1处取得极值， ∴f'(1) 0，即当x 1时∴

1

2x 1 0， x a

1

1 0，则得a 0.经检验符合题意 1 a

552

（Ⅱ）∵f(x) x b,∴lnx x x x b,

2272

∴lnx x x b.

2

72

令h(x) lnx x x(x 0),

2

17(4x 1)(x 2)

则h'(x) 2x .

x22x

535

∴当x 1,3 时，计算得：h(1) ，h(3) ln3 ，h(2) ln2 3，

222

5 5

h(x) ,ln2 3 所以b的取值范围为 ,ln2 3

2 2

4.解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，

g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2 （4分） (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，

设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．

由题设可得F(0)≥0，即k≥1，

令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2, ..（6分） ①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，

F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.

∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． .（8分） ②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)，

∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，

而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立， ③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立． .（10分）

综上所述，k的取值范围为[1，e2] .（12分） 5.解：(1) p 3函数f(x) 3x

332 2lnx，f(1) 3 3 0，f (x) 3 2 xxx

曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f (1) 3 3 2 4 ………2分

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∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y 0 4(x 1)即y 4x 4 ………4分

p2px2 2x p

（2）f (x) p 2 ，要使f(x)在定义域(0, )内是增函数，只需

xxx2

f (x) 0在(0, )内恒成立，即px2 2x p 0在(0, )上恒成立， …6分

2x 2x

(0, )在上恒成立， ∴ （本小题二次函数法也可） p 22

x 1 x 1 max

2x2x2

,(x 0) ……7分 则M(x) 2设M(x) 2

x 1x 1x x

1

∵x 0，∴x 2 ，当且仅当x 1时取等号 ………8分

x

即p

∴M(x) 1 ，即 M(x) max 1，∴p 1 所以实数p的取值范围是 1, …9分

px2 2x p

（3）∵f (x) 令h(x) px2 2x p，要使f(x)在(0,3)内存在极值，等价于2

x

h(x)=0在(0,3)内有解，但不能重根．…………10分，

当p 0时，h(x) 2x在(0,3)内无解，…………11分， 当p 0时，由h(x)=0得p

2x2x

0,1 ∴p 0,1 ，13分 ，根据（2）可知22

x 1x 1

∴经检验实数p的取值范围是 0,1 ……………14分 （法二），令f (x) 0，即px2 2x p 0( ) ………9分

设h(x) px 2x p,x (0,3)当p 0时，方程（ ）的解为x 0， 此时f(x)在x (0,3)无极值，所以p 0； 当p 0时，h(x) px 2x p的对称轴方程为x ① 若f(x)在x (0,3)恰好有一个极值

2

2

1

p

p 0 p 0则 ，对h(3) 0进行检验。 或

h(3) 10p 6 0h(3) 0

解得0 p

3

，此时f(x)在x (0,3)存在一个极大值； ……11分 5

②若f(x)在x (0,3)恰好两个极值，即h(x) 0在x (0,3)有两个不等实根

p 0 p 0 22 4 4p 0 4 4p 0 3 则 或 ，解得 p 1 ……13分 0 p 1． 11

5 0 p 3 0 p 3

h(3) 0 h(3) 0

综上所述，当0 p 1时，y …… 此处隐藏：2477字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……