第一章 矢量分析

电磁场与电磁波

第1章 矢量分析

1

例1.2.1 设一标量函数 (x,y,z) = x2+y2-z 描述了空间标量 场。试求： (1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 单位矢量。

o o o (2) 求该函数 沿单位矢量 e e cos 60 e cos 45 e cos 60 l x y z 方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

P

[(ex e y ez )( x 2 y 2 z )]P x y z (ex 2 x e y 2 y ez ) (1,1,1) ex 2 e y 2 ez高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版

谢处方等编写

电磁场与电磁波

第1章 矢量分析

2

表征其方向的单位矢量

el

P

P

ex 2 x ey 2 y ez (2 x) 2 (2 y ) 2 ( 1) 2(1,1,1)

ex 2 ey 2 ez 1 3 3 3

(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 el方向的方向

导数为

1 2 1 el (ex 2 x e y 2 y ez ) (ex e y ez ) l 2 2 2 1 x 2y 2对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为

l

P

x 2y 1 2

(1,1,1)

1 2 2 2

谢处方等编写

高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版

电磁场与电磁波

第1章 矢量分析

3

而该点的梯度值为

P (2 x)2 (2 y)2 ( 1) 2

3(1,1,1)

显然，梯度 P 描述了P点处标量函数 的最大变化率， 即最大的方向导数，故 恒成立。 P l P

谢处方等编写

高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版