信号检测与估计理论(5)

第5章 信号参量的统计估计理论第 5章 信号参量的估计 本章内容要点

本章内容要点：信号参量统计估计理论 的概念； 随机参量的估计； 非随机参量的估计； 观测信号波形中信号参 量的估计。

第5章 信号参量的估计

本章内容重点

本章内容重点：随机单参量、矢量估计 准则的概念, 估计量的构造, 估计量的性质； 非随机单参量、矢量估 计准则的概念, 估计量的构 造, 估计量的性质； 高斯白噪声条件下, 观测信号波形中信号参 量估计 的基本方法和主要性质 。

第5章

信号参量的估计

5.1 引言

5.1 引言信号状态确定后, 还需要获得信号的参量 和波形。 这就提出了信号的参量 估计和波形估计问题。 本章讨 论信号的参量估计, 它属于静态估计。

本章主要内容：随机参量、非随机参量 (单参量、矢量)估计 的四个 准则：贝叶斯估计、最 大似然估计、线性最小 均方误差 估计和最小二乘估计的 概念、估计量的构造和 主要性质。 高斯白噪声条件下, 观测信号波形中信号参 量估计 的基本方法和主要性质 。

第 5章

信号参量的估计

5.2 估计概念-模型,构造,质量

5.2 信号参量统计估计理论 的概念1. 信号参量统计估计理论 的模型f (θ )

估计准则观测 空间R

参量 空间 θ

( x) 估计量θ

图5.2.1 信号参量统计估计的模 型

模型由4部分组成。 参量空间 θ。信号参量可能取值的范围。可以是一维空间(单参量),也可以是多维空间(矢量)。

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信号参量的估计

5.2 估计概念-模型,构造,质量

参量空间 θ到观测空间R的映射关系，即对 θ 的观测 方式。 观测空间R。含有观测噪声的观测信号矢量 x 可能取 值的范围。 估计准则。根据信号和 参量的统计特性，估计 的指 标要求，确定采用的估 计准则, 以完成信号参量的估计 。

如果采用最佳估计准则 ，则得到的是最佳估计 量。 2.估计量的构造原则 ( x ); 估计量构造为观测信号 x 的函数，记为 θ 它应 满足估计的指标要求； 估计量的具体构造公式 与采用的 ( x )可简记为 θ 。 估计准则等有关。θ

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信号参量的估计

5.2 估计概念-模型,构造,质量,例

3.估计量的质量评价 ( x )的质量，由估计量的性 构造的估计量 θ 质，如无 偏性，有效性。均方误 差最小等来评价。为了 得到具有 优良性质的估计量，一 般应采用最佳估计准则 。例5.2.1 为说明信号参量估计的 概念，研究单参量 估计问题。 设线性观测方程 xk nk k 1,2, , N 其中， 是被估计的非随机单参量；第k次观测噪声nk 均 2 值为零, 方差为 n , 且互不相关。 及其均值E( )和均方误差E[( ) 2 ]; 求

的估计量

讨论有关问题。

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信号参量的估计

5.2 估计概念-模型,构造,质量,例

解： 因为观测噪声的均值为 零，所以可采用平均值 估计构造估计量，即 1 N xk N k 1N N 1 1 ) E 估计量的均值 E( x E ( n ) k k N k 1 N k 1 是无偏估计量。 2 N 1 2 估计量的均方误差 E ( ) E xk N k 1

2 2 N 1 N 1 E nk E n k k 1 k N N 1 1 N N 1 2 2 2 2 2 E n1 n2 nN n j nk n N j 1 k 1 N j k

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-概念

结果说明: 观测次数 N 越大，估计量的均方误 差越 小，估计的精度越高。 这说明了为什么对信号 参量进行 提高参量的精度 观测后，还要进行估计 的原因。

5.3 随机单参量的贝叶斯估 计5.3.1 平均代价与贝叶斯估计 贝叶斯估计是以平均代 价最小为指标的随机参 量估 计准则。 1.三种常用的代价函数 也是随 设被估计量 是随机单参量, 构造的估计量 ~ 与估计的质量有关，用 机的。二者之间的差 - 代 )表示。三种常用代价函数如图 价函数c( 5.3.1所示。

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-概念

~ c( )

~ c( )

~ c( )

1

0~ ) 2 c ( ) (

~

0~ | c( ) |

~

~ 0 | / 2 ~ 1 | c( ) | / 2 0 |

误差平方代价函数

误差绝对值代价函数

均匀代价函数

图5.3.1 三种常用代价函数

还有其他代价函数。 满足两个基本特性：非 负性；误差等于零时的 最小性。

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-概念

2. 平均代价 平均代价是代价函数的 统计平均 ,即 ) p( x, )dxd C c( (5.3.3) 3. 贝叶斯估计的概念 在被估计的随机单参量 的先验概率密度函数p ( )已 )指定的条件下, 知，代价函数c( 使平均代价C最小的 ( x ), 简记为 。 估计, 就称为贝叶斯估计, 估计量记为 ) p( x, )dxd 因为 C c( ) p( | x)d dx p( x) c( (5.3.5)

所以使平均代价最小等 价于使条件平均代价 C ( | x ) c( ) p( | x )d (5.3.6)最小。p ( | x )是后验概率密度函数。

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-估计量构造

5.3.2 贝叶斯估计量的构造 )代入C ( | x ),并使其极小化, 将c( 就得到估计量的

构造公式。1. 最小均方误差估计及估 计量的构造

当采用误差平方代价函 数时，有 )2 p( | x)d C ( | x ) (

(5.3.7)

求偏导, 将上式对 令结果等于零, 解得最佳估计量。式 (5.3.7)

的右端是估计量的均方 误差表示式，现使其最 小来求解估 计量，故称为最小均方 误差估计(MMSE ),估计量记为 MMSE ( x), 简记为 MMSE 。

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-估计量构造

令

) 2 p ( | x )d ( p( | x )d | 2 p( | x )d 2

MMSE p( | x )d 解得

MMSE使C最小。 因为二次偏导等于2, 所以 MMSE的构造公式(5.3.9)知, MMSE是 的条件均值, 由 故该 估计又称条件均值估计 。 利用关系式 p ( | x ) p ( x | ) p ( ) / p ( x )得 MMSE

MMSE

0

(5.3.8)

(5.3.9)

该构造公式避免了求后 验概率密度函数p ( | x )的困难。 而似然函数p ( x | )一般由观测信号模型较 易得到。

p( x | ) p( )d p( x | ) p( )d

(5.3.11)

第5章 信号参量的估计 5.3 随机单参量贝叶斯估计-估计量构造

2.条件中值估计及估计量的构造

当采用误差绝对值代价 函数时, 类似地得

(5.3.13) p( | x )d p( | x )d 即后验概率密度函数面 积的等分点为估计量。 称为条件中 MED ( x ), 简记为 MED。 值(中位数)估计(MED ), 估计量记为 3.最大后验估计及估计量 的构造 当采用均匀代价函数时 , 则 / 2 C ( | x ) p( | x )d p( | x )d

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