应用数理统计思考题1

思考题

1． 设X1,X2, ,X36是来自正态总体N(40,5)的样本,求样本均值在38与43之间的概率。

2

2．设X~N( , ), 其中 , 0是未知参数, 设X1,X2, ,Xn 是X的样本, 求 , 2

2

的最大似然估计量.

3．设某种元件的使用寿命X的概率密度为

e (x ),x ,

f(x; )

x . 0,

。 其中 0, 0为未知参数。求参数 , 的最大似然估计量 ,

解 似然函数L( ) ne i 1

(xi ),x (i 1,2, ,n)

i

n

当xi 0(i 1,2, ,n)时,L( ) 0取对数,得

n

lnL( ) nln (xi )，

i 1

因为

lnL( )

2n 0,故L( )单调增加。由于 满足 xi(i 1,2, ,n)，因此当 取

min(x,x, x)，x1,x2, ,xn中的最小值时，L( )取最大值，所以 的最大似然估计值为 12n

的最大似然估计量为 min(X1,X2, ,Xn)。

由

lnL( )n

n n 0,

得

1

，所以 的最大似然估计量为

1

min(X1,X2, ,Xn)

4．设X的分布律为

Xpk

1

23

1 2

，其中参数 0未知，今有样本

1,1,1,3,2,1,3,2,2,1,2,2,3,1,1,2

试求 的矩估计和最大似然估计。

解 下面x与X符号不区分。

（1）矩估计。Ex 1 2 3 (1 2 ) 3 3

令 Ex 3 3

11 1 2 1 28 5

3 1 3 3

33 1631612

（2）最大似然估计。L( )

12

2

P{X x}

i

i 1

16

13

(1 2 )3

令L ( ) (1 2 )(13 32 ) 0得 0或

113

或，前两者不符合题意 232

故取

13

32

2

5．设由来自正态总体X~N( ,0.9)，容量为9的简单随机样本计算得样本均值X 5，求未知参数 的置信度为0.95的置信区间。

[解]

0.9

或 (4.412 , 5.588) Z /2 5 1.96 5 0.588

n

2

2

6．设X~N( , ), , 未知，X的样本为457，482，493，471，510，446，435，418，394，469.求 , 的95%置信区间。

解 n 10, 1 95% 0.05, 4575.50,s 35.22 (1) tn 1) t0.025(9) 2.2622, 的95%置信区间为

2

2

2

s35.22

t(n 1) 457.50 2.2622 432.31 , 482.69 n

(2) 1 (n 1) 0.975(9) 2.70, 0.025(9) 19.023 2的95%置信区间为

2

2

2

2 22 (n 1)s2 (n 1)s9 35.229 35.22 2 2 , 586.87 , 4134.84 (n 1) 1 (n 1) 2.70 19.023

7．在一批木材中随机抽取36根, 测量其小头直径, 算得平均值 14.2cm. 设木材的小头直径

X~N( ,3.22), 问该批木材的平均小头直径能否认为在14cm以上？（显著性水平 0.05）

解 这是一个单边检验问题, 检验假设

H0: 14, H1: 14.

选取检验统计量 U

14

n

, 该假设检验问题的拒绝域为u

14

n

z . 现在n 36,

3.2, 14.2, 因而u

14.2 143.2

36

0.375．由 0.05，查标准正态分布表得，

z z0.05 1.645, 所以u 0.375 1.645, 接受原假设H0: 14, 即不能认为这批木材的小

头直径在14cm以上.

8．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度（单位: C）, 设测量值X~N( , ), 现在重复测量7次, 测得温度如下

112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6

而温度的真值 0 112.6, 试问用热敏电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？（ 0.05).

解 检验假设

2

H0: 112.6, H1: 112.6.

选取统计量 t

112.6S

n

, 当H0成立时t~t(n 1). 该假设检验问题的拒绝域为

t

112.6s

n

t 2(n 1).

由 0.05, n 7, 得t 2(n 1) t0.025(6) 2.4469. 由样本算得 112.8, s 1.136, 统计量t的值为

t

112.8 112.61.136

7

0.4659,

显然|t| 0.4659 2.4469, 从而在显著性水平 0.05下, 所以接受原假设H0: 112.6, 即

可以认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统偏差.

(XX, ,X), (XX, ,X)是参数 的两个相互独立的无偏估计量，9.设 1112n2212n ) 3D( ) 0。令Y a b ， 确定a,b使Y为 的无偏估计量，并且在一切这样的且D( 1212

线性估计类中Y最有效。

10. 某厂生产的螺钉长度X~N( , 2)，规定合格品的标准长度为5.50，标准差不超过0.09。现在从该厂生产的一批螺钉中随机地抽取6个，测得长度的平均值 5.46，标准差s 0.0802。问是这批螺钉是否合格？（ 0.05）。

11. 某农科所为了试验某种有机肥料的用量x（单位：公斤）对谷物产量y（单位：公斤）的影响进行了科学试验，试验结果如下表

假设谷物产量y对肥料用量x满足线性关系式

y x , ~N 0, 2 。

（1）试用最小二乘法求谷物产量y对施肥量x的线性回归方程； （2）求 的估计值；

（3）对线性模型的线性假设进行显著性检验； 0.05

（4）求当肥料用量为50公斤时，谷物产量的置信水平为95%的预测区间。

2