应用FFT对信号进行频谱分析

数字信号处理

实验二 应用FFT对信号进行频谱分析

一、实验目的

1、加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。

2、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法极其程序的编写。

3、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

4、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。

二、实验原理和方法

一个连续信号xa(t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示

X(j ) ^

a

j tx(t)edt （2—1） a

如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列：

x(n) Xa(nT) （2—2）

同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期

X(z)

n x(n)z n （2—3）

当Z ejw得时候，我们就得到了序列的傅里叶变换

X(e) jw

n x(n)e jwn （2—4）

其中w称为数字频率，它和模拟频域的关系为 w T fs （2—5）

式中的fs是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率fs的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频谱。序列的傅里叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系 ：

1 w 2 mX(e) Xa(j) （2—6） T Tjw

即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从式（2—6）可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足Nyquist定理。

在各种信号序列中 ，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT），这一变换可以很好的放映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们定义离散傅里叶变化为：

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X(k) DFT[x(n)]

j2

N Wn 0N 1knN （2—7） 其中，Wkn

N e，它的反变换定义为： 1N 1 kn x(n) IDFT[X(k)] （2—8） X(k)WN Nk 0

k根据式（2—3）和（2—7）令Z WN，则有 N 1

n 0 X(z) kz wNkn x(n)WN DFT[x(n)] （2—9） 可以得到X(k) X(z)2 jk kz WN eN k，WN是Z平面单位圆上幅角为w 2 k的点，就是见N

单位圆进行N等分以后第K个点。所以，X(k)是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列混淆。

DFT时对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：

（1）混淆现象

从式（2—6）中可以看出，序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2 ，因此当采样速率不满足Nyquist定理，即采样频率fs 小于两倍的信号（这里指的是实信号）频率时，经过采样就会发生频谱混淆。这导致采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。这就告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。

（2）泄露现象

实际中的信号序列往往很长，甚至是无线长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原始信号序列乘以一个矩形窗函数，而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄漏时不能和混淆完全分离的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄漏的影响，可以选择是党的窗函数使频谱的扩散减小到最小。

（3）栅栏效应

因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是在原序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。这种方法的实质是人为地改变了对真是频谱采样的点数和位置，相当于

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搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线对应的频率和原来的已经不相同了。

从上面的分析过程可以看出，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。

快速傅里叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式（2—7）进行一次次的分解，使其成为若干小数点DFT的组合，从而减小运算量。常用的FFT是以2为基数，其长度N 2M。它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分菲娜改变。当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候，为了使用以2为基的FFT，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。IFFT一般可以通过FFT程序来完成，比较式（2—7）和（2—8），只要对X(k)取共轭，进行FFT运算，然后再取其共轭，并乘以因子N，就可以完成IFFT。

三、实验内容及步骤

（一）编制实验用主程序及相应子程序

1、在实验之前，认真复习DFT和FFT有关的知识，阅读本实验原理与方法和实验附录部分中和本实验有关的子程序，掌握子程序的原理并学习调用方法。

2、编制信号产生子程序及本实验的频谱分析主程序。试验中需要用到的基本信号包括：

(n p) q,0 n 15（1）高斯序列：xa(n) e

0,else2

e ansin(2 fn),0 n 15（2）衰减正弦序列xb(n)

0,else

n 1,0 n 3（3）三角波序列xc(n) ，xc(n) 0,else n 3,4 n 7

（4）反三角序列xd(n) 4 n,0 n 3，xd(n) 0,else n 3,4 n 7

（二）上机实验内容

1、观察高斯序列的时域和频域特性

（1）固定信号xa(n)的参数p=8,改变q的值，使q分别等于2，4，8。观察它们的时域和幅频特性，了解q取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。

（2）固定q=8，改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列时域及幅频特性的影响。注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，绘制相应的食欲序列和幅频特性曲线。

11高斯序列

n=0:15;

>> p=8;q=2;x=exp(-1*(n-p).^2/q);

>> close all;subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x)))

数字信号处理

>> p=8;q=4;x=exp(-1*(n-p).^2/q);

>> subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x)))

>> p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);

>> subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x)))

2衰减正弦序列

n=0:15;

a=0.1;f=0.0625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

>> close all;subplot(2,1,1);stem(n,x);

>> subplot(2,1,2);stem(n,abs(fft(x)))

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