《全等三角形》考点重点专题讲解

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《全等三角形》考点重点专题讲解

专题一 全等三角形判别方法的应用
　　专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：
　　1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成"SSS"）
　　2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成"SAS"）
　　3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成"ASA"）
　　4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成"AAS"）
　　而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用"斜边、直角边"，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成"HL"）．也就是说"斜边、直角边"是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．
　　三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．
　　分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，
∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由
AE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC为公
共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又
∠EAO=∠DAO， AO为公共边，所以△ABO≌△ACO． 图1
所以图中全等的三角形一共有4对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法
例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．
　　分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，
所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．
要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只需AC=AE 图2
即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．
　　
　　（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法
例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．
　　求证：AO平分∠BAC．
　　分析：要证AO平分∠BAC
，即证∠BAO=∠BCO，
要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两
个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．
　　证明：连结BC．
　　因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．
　　因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．

《全等三角形》考点重点专题讲解

图3
　　即∠3=∠4，所以BO=CO．
　　因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，
　　所以△ABO≌△ACO．
　　所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法．
例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．
　　求证：∠ADC=∠BDF．
　　证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，
所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，
CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．
因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以 图4
△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．
　　
（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法
例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件
限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数
学知识按以下要求设计一测量方案﹒
　　(1)画出测量图案﹒
　　(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5
　　(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒
　　分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．
　　解：(1)如图6示．
　　(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测
　　
　　
　　
　　
　　
图6
　　
得OD＝OB，这时测出CD的长为，则AB的长就是．
　　(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．
　　又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．
　　∴CD=AB=．

专题二 角的平分线
　　从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的
平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．

（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等
　　
例7 已知：如图21，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．
　　求证：AD平分∠BAC．
　　证明：过D作DE⊥AB

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于E，DF⊥AC于F． 图21
　　在△BED与△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝，BD=CD，
　　∴△BED≌△CFD(AAS)．
　　∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．
　　说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．

（2）利用角的平分线构造全等三角形
①过角平分线上一点作两边的垂线段

例8 如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．
　　求证：AE=ED．
　　分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．
　　证明：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G，作EH⊥CD，垂足为H．
　　∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，
　　∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．
　　∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．
　　∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90o． 图22
　　在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．
　　∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．
　　②以角的平分线为对称轴构造对称图形


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