经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷（A卷）

一、填空题（ 满分15分，每小题 3 分）

1.

设f(x) 1

1 lnx

.

2. 当x 0时，若ln(1 ax2

)与xsinx是等价无穷小量，则常数a ． 3. 设f (xf(x0) f(x0 2h)

0) A，则lim

h 0

h

4. 设f(x)在( , )上的一个原函数为sin2x，则f (x) . 5. 设f(x)为连续函数，且f(x) x 2

10

f(t)dt，则f(x) ．

二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）

sin6．设f x

x

x

x 0，则在x 0处，f(x)（ ）

1x 0

（A）．连续 （B）．左、右极限存在但不相等 （C）．极限存在但不连续 （D）．左、右极限不存在

x27. 设f(x) xsin x

，则函数f(x)（ ）

（A）有无穷多个第一类间断点； （B）只有1个可去间断点； （C）有2个跳跃间断点； （D）有3个可去间断点． 8．若点(1,4)是曲线y ax2

bx3

的拐点，则 ( )

（A）a 6,b 2； （B）a 2,b 6； （C）a b 1； （D）a b 2．9. 下列各式中正确的是（ ） （A）．(

ba

f(x)dx) f(x) （B）

．df(x) f (x)dx （C）．d( f(x)dx) f(x) （D）．( x

a

f(t)dt) f(t)

10．某种产品的市场需求规律为Q 800 5p，则价格p 120时的需求弹性 d （ （A）．4 （B）．3 （C）．4 % （D）．3 %

三、计算题（ 每小题5 分，共20分）:

11．求极限：lim(

xx 1

1 x 1lnx

) ）

12．设lim(

x

x ax

) 8，求常数a的值. x a

sinx

13．设y x

，求dy|x

x 2costd2y14．设 ，求2

dx y 3sint

四、计算题（10分）

15．设f(x)

sinx,x 0

．

ax b,x 0

（1）确定常数a,b的值，使f(x)在x 0处可导； （2）求f (x)；

（3）问f (x)在x 0处是否连续．

五、计算题（满分10分）

1

1 e xdx lnx

17．求广义积分： dx 21x

16．求不定积分：六、应用题（ 满分20分）

18．过原点作曲线y lnx的切线，求该切线与曲线y lnx及x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。

19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x吨时的边际收入函数为R (x) 10x 32，边际成本为C (x) 40 20x 3x。求

（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？ 七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:

x 1

f(t)dt,a x b

20．设f(x)在[a,b]上连续且单调递增，证明F(x) x a a在区间

x a f(a),

2

[a,b]上也单调递增.

21．设f(x)在[0,

]上可导，f() 0，证明存在 (0,)，使得

222

f( ) tan f ( ) 0

一、1.(0,e 1) (e 1, )；

二、6．（B）； 7.（D）；

答案及评分标准

1； 3. 2A； 4. ．（A）； 9. （B）； 4sin2x； 5. 10．（B）． x 1． 2. 8

三、11．【解】lim(

x 1

x1xlnx 1 x

........................（2分） ) lim

x 1(1 x)lnx1 xlnx

lim

lnx 1 11

lim ............（5分）

x 1x 12 lnx 2

xxx

x a2ax

1

limx ax2a2a x a

x x a) lim(1 )12．【解】因为lim( e e2a............（3分）

x x ax x a

2ax

故e

2a

3

8，因此a ln2............................................（5分）

2

sinxlnx

13．【解】因dy d(e

) esinxlnxd(sinxlnx)...............................（2分）

sinxlnx

e所以dy|x e14．【解】

sin ln

(cosxlnx

sinx

)dx.....................（4分） x

(cos ln

sin

)dx ln dx........................（5分）

dyy (t)3cost3 cott....................................（2分） dxx (t) 2sint2

3

( cott)

dyddy3 csc2t33 () csct............（5分） dx2dxdxx (t)2 2sint4

2

x2y2dy9x

1，两边对x求导，得【另解】函数的隐函数方程为............（2分） 49dx4y

9xdyy x( )y x

d2yddy99814y ............（5分） () 2223dxdxdx4y4y4y

四、15．【解】（1）由f(x)在x 0处可导，知f(x)在x 0处连续且f (0)存在，因此

f(0) limf(x)，f (0) f (0)

x 0

f(x) lim(ax b) b，f(0) sin0 0，故b 0 因limf(x) lim

x 0

x 0

x 0

又 f (0) lim

x 0

f(x) f(0)axf(x) f(0)sinx

，f (0) lim lim a lim 1

x 0x 0x 0xxxx

故a 1，f (0) f (0) f (0) 1，且

f(x)

sinx, x,

x 0x 0

....................................（4分）

（2）当x 0时，f (x) (sinx) cosx；当x 0时，f (x) (x) 1

因此，f (x) （3）因为

cosx, 1,

x 0x 0

。...........................................（7分）

f (x) limcosx 1，limf (x) lim1 1，f (0) 1 lim

x 0

x 0

x 0

x 0

所以，limf (x) f (0)，即f (x)在x 0处是否连续．.....................（10分）

x 0

1ex1dx dx d(1 ex) ln(1 ex) C.............（5分）五、16．【解】 xxx 1 e1 e1 e

17．

lnx1lnx 11

dx lnxd( ) | ( 1 1x2 1 1x) xdx............（3分） xx

1

lnx1 1

lim |1 lim( ) (lim 1) 1............（5分）

x x x xxx1

六、18．【解】设切点为(x0,lnx0)，则由y

11

得切线的斜率为k ，切线方程为

x0x

y lnx0

1

(x x0) （1） x0

因切线过原点，将x 0，y 0代入（1）式，解得x0 e，故切点为(e,1)，切线方程为 y lne

11

(x e) 即 y x............（4分） ee

该切线与曲线y lnx及x轴所围成的平面图形的面积为

e1eee

A e 1 lnxdx x(lnx 1)|1 1............（7分）

1222

所求旋转体的体积为 V 1 e 19．【解】由题设。有

C(x) C(0)

1

3

2

e

1

ln2xdx

e

ee

x(ln2x 2lnx 2)|1 2 (1 )......（10分）

33

x

x0

C (t)dt 10 ( 40 20t 3t2)dt 10 40x 10x2 x3

R(x) R(0) R (t)dt 0 (10t 32)dt 5x2 32x

xx

（1）总利润函数为

L(x) R(x) C(x) (5x 32x) (10 40x 10x x) 10 72x 15x x

（2）L (x) R (x) C (x) (10x 32) ( 40 …… 此处隐藏：2215字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……