《实变函数》综合训练题(一)及解答

实变函数试题

《实变函数》综合训练题（一）

（含解答）

一、选择题（单选题）

1、下列集合关系成立的是（ A ）

（A）(A\B) B A B （B）(A\B) B A （C）(B\A) A A （D）(B\A) A 2、若E R是开集，则（ B ）

（A）E E （B）E的内部 E （C）E E （D）E E 3、设P是康托集，则（ C ）

（A）P是可数集 （B）P是开集 （C）mP 0 （D）mP 1 4、设E是R中的可测集， (x)是E上的简单函数，则（ D ）

1

n

（A） (x)是E上的连续函数 （B） (x)是E上的单调函数 （C） (x)在E上一定不L可积 （D） (x)是E上的可测函数

5、设E是R中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若 f(x)dx 0，则（ A ）

E

n

（A）在E上，f(z)不一定恒为零 （B）在E上，f(z) 0 （C）在E上，f(z) 0 （D）在E上，f(z) 0 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）

（A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每一点都是聚点 （D）mE 0 2、若E R至少有一个内点，则（ B、D ）

**

（A）mE可以等于零 （B）mE 0 （C）E可能是可数集 （D）E是不可数集

3、设E [a,b]是可测集，则E的特征函数XE(x)是 （A、B、C ） （A）[a,b]上的简单函数 （B）[a,b]上的可测函数 （C）E上的连续函数 （D）[a,b]上的连续函数 4、设f(x)在可测集E上L可积，则（ B、D ） （A）f(z)和f(z)有且仅有一个在E上L可积

1

实变函数试题

（B）f(z)和f(z)都在E上L可积 （C）f(z)在E上不一定L可积 （D）f(z)在E上一定L可积

5、设f(z)是[a,b]的单调函数，则（ A、C、D）

（A）f(z)是[a,b]的有界变差函数 （B）f(z)是[a,b]的绝对连续函数 （C）f(z)在[a,b]上几乎处处连续 （D）f(z)在[a,b]上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）

1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则A\B

A BC 。

n

2、设E R，如果E满足E E，则E是

3、若开区间( , )是直线上开集G的一个构成区间，则( , )满足( , ) G、

G, G

。

4、设A是无限集，则A的基数A a（其中a表示可数基数）。

5、设E1，E2为可测集，mE2 ，则m(E1\E2)mE1 mE2。

6、设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有E[xf(x) a] 是 可测集 ，则称f(x)是可测集E上的可测函数。

*1

7、设x0是E R的内点，则mE

0。

8、设函数列{fn(x)}为可测集E上的可测函数列，且fn(x) f(x)(x E)，则由黎斯定理可得，存在{fn(x)}的子列{fn(x)}，使得fn(x)

k

k

a.e.

f(x)(x E)。

9、设f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上的L积分不一定存在，且f(x)在E上一定 L可积。

10、若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)一定[a,b]上的有界变差函数。 四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ） 2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ √ ） 3、设E是可测集，则一定存在G 型集G，使得E G，且m(G\E) 0。（ √ ）

实变函数试题

4、设E是零测集，f(z)是E上的实函数，则f(x)不一定是E上的可测函数。（ × ） 5、设f(z)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)必在E上L可积。 （ × ） 五、简答题

1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。例如 取R上一列开集为( 1

1

11

,1 )，n 1,2,3, nn

11

,1 ) [ 1,1]是闭集，不是开集。

n 1

nn

2、可测集E上的可测函数与简单函数有何关系？

而 ( 1

答：①简单函数是可测函数；

②可测函数不一定是简单函数；

③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。 3、[a,b]上的有界变差函数与单调函数有何关系？

答：①单调函数是有界变差函数；

②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题 1、设D(x)

1 0

x [0,1] Q

，其中Q是有理数集，求 D(x)dx。

x [0,1] Q[0,1]

解： 因为m{[0,1] Q} 0，所以D(x) 0a.e.于[0,1]，于是

[0,1]

D(x)dx

[0,1]

0dx 0

2、求lim

n

ln(x n) x

ecosxdx。 n

解： 因为

ln(x n) xln(1 x 1 n) xx 1 n) x

ecosx e e (1 x)e x nnn(1 x)e xdx

而

所以，由L控制收敛定理

lim

n

ln(x n) xln(x n) x

ecosxdx lim ecosxdx 0dx 0

n

nn00

七、证明题

1、证明集合等式：(A B)\C (A\C) (B\C)

证明：（ 方法1）对任意x (A B)\C，有x (A B)且x C，即x A或x B且x C

实变函数试题

所以 x A\C或x B\C，即x (A\C) (B\C)。

反之，对任意x (A\C) (B\C)，有x A\C或x B\C，即x A或x B且x C，所以x (A B)且x C，即x (A B)\C， 综上所述，(A B)\C (A\C) (B\C)。

（方法2）(A B)\C (A B) C (A C) (B C) (A\C) (B\C)。 2、设E0是[0,1]中的有理点全体，则E0是可测集且mE0 0。 证明： 因为E0是可数集，则E0 {r,r, ,rn, } 12对任意 0，取开区间(rn 于是 mE0

*

n 11

ccc

2

,rn n 1

2

n 1

)，n 1,2, ，显然它们把E0覆盖住。

2n

。让 0得，m*E0 0，从而E0是可测集且mE0 0。

1

3、证明：R上的实值连续函数f(x)必为R上的可测函数。

证明：因为对于任意实数a，由连续函数的局部保号性易知，R[xf(x) a]是开集，从而

1

R1[xf(x) a]是可测集。所以f(x)必为R1上的可测函数。

1

4、设f(x)是可测集E R上的L可积函数，{En}为E的一列可测子集，mE ，如

果limmEn mE，则lim f(x)dx f(x)dx。

n

n

En

E

证明：因为mE 且En E，所以mEn m(E\En) mE mEn 从而由题设 limmE(E\n )mE

n

n

lmEim mE mE n

1

又f(x)在E R上的L可积，且

E

f(x)dx f(x)dx

En

E\En

(E\En) En

f(x)dx f(x)dx

En

En

En

E\En

所以由积分的绝对连续性得

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

f(x)dx

lim(f(x)dx f(x)dx) limn n

En

E

E\En

f(x)dx 0

即lim f(x)dx f(x)dx。

n

En

E

1

5、设f(x)是可测集E R上的L可积函数，{En}为E中的一列递增可测子集，

实变函数试题

limf(x)dx n

En

n 1

En

f(x)dx。

证明：记

1,x En

fn(x) f(x) …… 此处隐藏：1456字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……