【数学】1.7.1《定积分在几何中的简单应用》课件(人教A版选修2-2

1.7.1定积分在几何中的简单应用定 积 分 的 简 单 应 用

一、复习回顾 1、定积分的几何意义： ba

当 f(x)≥0 时，积分 ∫ f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、y y=f (x) O a b x y

x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。

∫a f (x)dxO a b x

b

∫a f (x)dx = Sy=f (x)

b

当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成 的曲边梯形位于 x 轴的下方，

一、复习回顾

2、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本定理) 定理 (微积分基本定理) 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, f(x)是区间[a,b]上的连续函数 并且F (x)=f(x),则 并且F’(x)=f(x),则b a

)x ( ( ∫ f(xd =Fb) Fa)a

b

或 f(xd =F x b=Fb F a ∫ ) x ( )|a ( ) ( )

(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)

二、热身练习定 积 解： 如图由几何意义 分 的 简 单 应 用 2 计算：∫ π sin xdx 解：如图由几何意义π π

1

计算:

∫

2

2

4 x 2 dx

∫

2 2

1 4 x dx = π × 2 2 22

π

y

y = sin x

∫

sin xdx = 0

π

0

π

x

二、热身练习y = 2 x 2与x轴及x=-1,x=1所围成的面积 定 3. 计算由

积 分 的 简

y A

y = f1 ( x)

D

B

C M

单 应 用 4.用定积分表示阴影部分面积O

y = f 2 (x) (xb

N x

a

s = ∫ f1 ( x) dx ∫ f 2 ( x) dxa a

b

b

三、问题探究 曲边形面积的求解思路y

定 积 分 的 简 单 应 用 曲边形 曲边梯形(三条直边，一条曲边)0 a A2 bX a b a b A1

面积 A=A1-A2

四、例题实践求曲边形面积例1.计算由曲线 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形的面积 定 积 解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积 分 的 简 单 应 用1 1 y

y2 = x 及 x =1 解方程组 2 得交点横坐标为 x = 0 y = x

y = x2 y2 = x BC D 1A x

曲边梯形OABC11

曲边梯形OABD

O 1

∫

0

x dx ∫ x 2 dx03 2 1

2 x 3

1 3 x 3 0

1 0

2 1 3 3

1 3

归纳定 积 分 的 简 单 (2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 应 用 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分，求出面积 (1)画草图，求出曲线的交点坐标

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：

四、例题实践求曲边形面积例2.计算由曲线 定 积 分 的 简2 4 y 4

y = 2x

直线y

y = x 4 以及x轴y = x 4

所围图形的面积Sy= 2x

S2 S12 4

2

单 应 用O

S1 S2 A8 O 2 4

B

8

x

A: s = s1 + s2 = ∫

4

0

B: s = s1 s2 = ∫

8

0

1 8 2 x dx + ∫ 2 x dx × 4 × 4 2 4 1 2 x dx × 4 × 4 2

五、巩固练习书本P58练习定 积 分 所围成平面图形的面积 的 简 单 应 用 解题要点: S1 S2π4π2x

提高:书本P66复习参考题A组16题 π 求曲线 y = sin x, y = cos x 与直线 x = 0, x = 2y

y = cos x

1

y = sin x

S = S1 + S 2π0

O

S1 =

∫ 4 cos x dx ∫ 4 sin x dx

π

S 2 = ∫π2 sin x dx ∫π2 cos x dx4 4

π

0

π

有其他 方法吗？

六、小结1.本节课我们做了什么探究活动呢？ 2.如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 3.解题时应注意些什么呢？ 4.体会到什么样的数学研究思路及方法呢？

七、作业 1、书本P60 习题A组1 B组3 2、全优设计P48-49 3、思考B组1,2

思考定 积 分 的 简 单 应 用

课本P60

B 2

如图, 一桥拱的形状为抛 物线, 已知该抛物线拱的高为 常数h, 宽为常数b.2 求证: 抛物线拱的面积 S = bh 3b

h

建立平面直角坐标系 确定抛物线方程

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为 定 y = ax 2 (a > 0) 代抛物线上一点入方程 积 分 的 简 单 应 用b b 4h 2 2 2s = 2 h + ∫ ( 2 x )dx 0 2 b 4h 3 b 2 b 2 = 2 h + ( 2 x ) 0 = bh 3b 2 3

4h 2 所以抛物线方程为 y = 2 x b

4h b 2 则有 h = a( ) 得 a = 2 b 2

y 0 x

hS bb ( , h) 2

于是，抛物线拱的面积为 2S