线性代数与空间解析几何第三章习题解答

第三章

1. 计算行列式 1)

21 1

08

13

4 2 ( 4) 3 1 1 8 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 4) 1 2 ( 1) 8 0 1 3

4

ab

2)b

c

a abc abc abc c3 a3 b3

c

cab

3abc a3 b3 c3

2．求逆序，并决定奇偶性 1) t(4132) 2 1 1 0 4 2) t(3421) 3 2 0 0 5

3) t[13 (2n 1)(2n)(2n 2) 2] 0 2 4 2n 1

2(1 2 n 1) n(n 1)

不论n为奇数，偶数，n(n 1)为偶数。 该排列为偶排列

4) t[13 (2n 1)24 (2n)] (n 1) (n 2) 1 0

n(n 1)

，当2

n 4k 1或

当n 4k 2或n 4k 3时为奇排列，其中kn 4k 4时为偶排列，

为非负整数

3．写出四阶行列式中含a11a22的项

a11a22a33a44， a11a22a34a43

5．用行列式展开计算行列式

4

(1)

124202117

10

202117

40

2417

424017

520

4 520 1 20 10 102

4 34 44 10 ( 18) 0

a

(2)

1b 10

01c

001

100

b a 1

1c

010

0c

1 ( 1) 1

1d

1d

1 1d

a(bcd b d) (cd 1) abcd ab ad cd 1

5.用定义计算行列式

a1

D4

0a20

解：设D4 aij

4 4

0c10c2

b10b20

0d10d2

ai,bi,ci,di

0,i 1,2

,1 则D4中第1行的非0元为a11 a1,a13 b1，故j1 3

同法可求：j2 2,4;j3 1,3;j4 2,4

∵j1,j2,j3,j4可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故D4中相应的非0项有4项，分别为a1c1b2d2， a1d1b2c2, b1c1a2d2，

b1d1a2c2

其代数和即为D4的值，整理后得 D4 a1b2 a2b1 c1d2 c2d1

习题二

1. 计算行列式

5

(1)

273

6 24

341c3 4c4

c2 4c4c1 2c4

11140 3

6010

341 5

4 27

5 1807

111 4 3

7

610

5 18

8 10 5

1

r2 4r1 0

r3 3r1

1139

66

396

0 26 8

26 8

156

2

(2)

1201bb2

4132621

2r2 r1

i3 2i1

100

466

122

3 121151

55

55

66

22

30 50

( 1)1 2 3 50 0

(3)a

c bc2 ab2 ca2 ba2 cb2 ac2 c2

a2

c2(b a) b2(a c) a2(c b) (b a)(c a)(c b)

法2:

1

原式r2 ar10

r3 ar1

1b a

1c a c2 a2

b ab2 a2

c ac2 a2

0b2 a2

r2 (b a)r1

b a0

c a(c a)(c b)

(b a)(c a)(c b)

法3：由范德蒙德行列式可得：原式＝(b a)(c a)(c b) (4)若2(x y) 0

xyx y

yx yx

x yxy1r1 r2

r1 r3

2x 2y2x 2y2x 2yyx y1

x yx

xy

2(x y)

1yx y

1x yx

1xy

1y

r2 xr12(x y)y x

r3 yr1

0 2(x y)(xy y2 x2) 2(x3 y3)

xx y0

2

2

若2(x y) 0 原行列式 0 2(x y)(xy x y) 所以原行列式 2(x y) 2. 证明

3

3

cos2

(1)cos2

cos2 cos2 cos2

sin2 sin2 0 sin2

明

:

cos2

证

cos2 sin2 左 cos2 sin2

cos2 sin2

cos2 cos2 cos2

sin2 sin2

cos2 cos2

cos2 cos2 cos2

sin2 sin2 sin2

sin2 c1 c3cos2

0 右 a2

(2) 2a

ab1

b21

:

a b2b (a b)3

1

证

a2 abab b2

左c1 c2a b

c2 c3

b22b 1

a b0

a(a b)b(a b)a b

a b

(a b)2

ab11

(a b)3 右

(3)

x0 0an

1x 0an 1

0 1 0

00 x

00 1a1 x

xn a1xn 1 a2xn 2 an 1x an

an 2 a2

证明: 按最后一行展开，得

1x

左 an( 1)n 10

00

0x00

00 x00 x0 00

000 1000 1 0 0

00 x

x0 00

0 0 x 1

0 00

00 x

00 0 1 0 x

00 0

1 0 10 00

an 1( 1)n 2

10 1

x00 0x0

an 2( 1)n 3

000

x 00

1 0

a2( 1)2n 1

000 1000

x 10

(x a1)( 1)2n

0 1

x 00

1 0

00

x 1

an( 1)2n an 1x( 1)2n an 2x2( 1)2n a2xn 2( 1)2n (x a1)xn 1( 1)2n

an an 1x an 2x2 a2xn 2 a1xn 1 xn 右

3．计算下列行列式 (1) 若[x (n 1)a] 0

xa aa

x a

(x (n 1)a)

11 1a

x a

(x (n 1)a)

1 0

1 0

10

0x a

aa x

aa x x a

(x a)n 1[x (n 1)a]

若[x (n 1)a] 0，原行列式 0 (x a)所以原行列式 (x a)(2)

n 1

n 1

[x (n 1)a]

[x (n 1)a]

an

Dn 1

a1

a 1

a 11

n

(a n)n

1

( 1)

n(n 1)2

1a 1

n 1

1a n

an 1(a 1)n 1

a n

n 1

a an 1an

a n1

a 1

n

a 1

a n

n

a n

n 1

( 1)

(3)

n(n 1)2

0 i j n

a j a i ( 1)

n(n 1)2

0 i j n

(i j)

0 i j n

(j i)

an

D2n

cn

bn

a1c1

b1d1

dn

an

an 1

a1c1

cn 10

b1d1

bn 1

0

dn 10

0dn

(2n 1)

0an 1

( 1)2n 1cn

cn 1

0bn 1

a1c1

b1d1

dn 1

bn0

andnD2(n 1) cnbnD2(n 1)

2n 1

(andn cnbn)D2(n 1)

∵D2 a1d1 c1b1 ∴D2n

1 i n

(ad

i

i

cibi)

习题三

1． 利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵 （1）

cos sin sin

cos

解:A 1 0 cos

sin

A 1存在。A11 cos ,A12 sin ,A21 sin ,A22 cos

1

sin cos

cos sin sin

cos

12 1

34 2 2

5 41 12 113

4

2 31

1

0 2

01

21

5 45 146

146

2. 其逆矩阵存在

A11 4，A12 13，A13 32，A21 2，A22 6，A23 14，A31 0，A32 1，A33 2，10 12 1 2

34 2 23 2 5 …… 此处隐藏：3804字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……