6-新课标理念下高中数学问题法教学之管见

东莞市中学数学教学研究会2009年优秀论文拟奖篇目

新课标理念下高中数学问题法教学之管见

——以《方程的根与函数的零点》的教学为例

【摘要】： “问题是数学的心脏”，数学教学就必须精心设计数学问题，教师要将精心设问贯穿在课堂教学的各个环节，给学生创设可望、可及且有利于学生建构的问题情境，这样，学生的思维习惯得以养成，求知的热忱得以激发，学习兴趣得以培养，思维品质、能力得以全面发展.

【关键词】： 新课标；高中数学；问题法；教学

今年四月份，我校招聘高中数学教师时，十六名面试者试讲的课题都是新课标必修1（人教版）《第三章函数的应用》中的第一节《3.1.1方程的根与函数的零点》，我有幸作为评委之一，感受了来自全国各地对教材十六种不同风格的处理方式，也引起了我对新课标理念下高中数学问题教学法的思考.

这一课时，主要有两个知识点：一个是函数零点的概念，另一个是函数零点存在性的判断，重点当然是后者.应该说，教材的线索清楚，层次分明，循序渐进：1）从几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数入手，得到方程的根和相应函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系；2）由特殊到一般，得到这种关系对一般的一元二次方程及其二次函数也成立；3）将这种关系推广到一般函数，引出函数零点的概念；4）方程的根与函数零点的关系；5）函数零点存在性定理；6）知识应用.如果按照教材的思路讲授，应该是“一帆风顺”的，但是会少了跌宕起伏的快感和“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惬意，收获当然也就大不相同.

下面，我从新课引入、概念教学、定理探究、知识应用、归纳小结等几个方面谈谈我的问题法教学.

1.关于“函数零点”的概念引入

教材的编写是从初中已经学习过三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数图象关系引出函数零点的概念的.十六位教师中，只有三、四位教师把教材上的引入略加变化，其他教师都是照本宣科，把教材上的内容平铺直叙地复述一遍，这样的教学学生当然不会感兴趣，也就缺乏求知的欲望，教学效果当然会打折扣了.在新课的引入过程中，教师要对教材内容进行二次开发，创造性地使用教材. 好的引入是一节课成功的一半！我是这样引入的：

问题1：一元二次方程2008x2 2010x 1 0有实数根吗？

按常规，要判断一元二次方程有无实根，只要计算其判别式即可，而在我们平时不允许使用计算器的情况下，老师出这么大的系数可能就不常规了.这一看似简单的问题，引发了同学们认知上的冲突，从而也就引发了他们积极的思考.有的在讨论，有的在沉思，我则适时提醒：积极搜索你们大脑中存储的一些数学方法！

“有实根！”一会儿就有人得出了结论.

“请说说你的理由”

“画出这个方程相应函数的草图”

“怎么画呢？你说我画吧.”

“用特值法，对函数f(x) 2008x2 2010x 1，因为f(0) 1,f(1) 1，所以在区间（0，1）上一定有一个交点，从而方程在这个区间上就一定有一个实根.”

“很好，这是一个漂亮的方法！你能不能把你的思维过程跟我们说说？”

“初中我们学过‘三个二次’之间的关系, ”下面是通过学生之口,把教材上的引入讲述出来了.

如果用书上小系数的一元二次方程的例子引入，学生就可以通过因式分解或计算判别式容易得出结论，这样要引出后面“函数的零点”、“方程的根”以及“函数的图象与x轴的交点”三者之间的关系就不能水到渠成了.

东莞市中学数学教学研究会2009年优秀论文拟奖篇目

乌辛斯基指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”.因此，新课引入要精心创设问题情景，要新颖别致，使学生学习有趣味感、新鲜感，以激发学生求知欲望，真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和和本质的目的.

2.关于“函数的零点”概念的教学

高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质[1].

在学生亲历了“问题1”的探究后，教师再提出函数零点的概念，他们是很容易接受的，而且也不难得到“方程f(x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点”的结论.“函数的零点”这个概念，实质上就是学生初中所学习过的“一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根就是相应的二次函数f(x) ax2 bx c的图象与x轴的交点的横坐标”的直接推广.学生经历的是特殊问题一般化的过程.他们可以用这个旧知识来同化新知识.而且这个新知识与旧知识之间也只有一层薄薄的窗户纸，一捅即破.对于函数零点概念的理解，他们仍然可以以二次方程为载体，我们不必把简单的问题搞复杂，清楚的问题搞糊涂.

在学习完数学概念后，教师往往对该概念有所拓展，对数学概念的内涵与外延进行“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等.它通常表现为对各种可能的特例进行剖析，分析可能发生的概念理解错误，理解概念的各种变式[2].所以，得出函数零点的概念后，老师们几乎无一例外地都强调了同一句话：函数的零点不是一个点，而是一个数.如果我们把这句话设置成一个问题2：函数的零点是点吗？让学生自己从概念中去找到答案，效果就会大不相同了.另外，在得到“方程的根”与“函数的零点”关系的结论后，老师们马上进入零点存在性问题的探究，没有把这个结论的作用挖掘出来.这里可以设置问题3：这个结论对我们有什么用途呢？不至于让学生学得没有目的.事实上，从这里可以挖掘出求函数零点的两种方法：代数法（解相应的方程）和几何法（画函数图象）；也蕴含着转化的思想和数形结合的方法：求函数的零点，可以转化成我们熟悉的求方程的根；而利用函数的零点求方程的根，既是函数知识、数形结合的具体应用，也为后面学习《3.1.2用二分法求方程的近似解》和《3.2函数模型及其应用》奠定了基础.

对于一些教师将“函数的零点”与“方程的根”等同起来，我认为也是不妥的.尽管两者联系紧密，但是不能“等同”.“方程f(x) 0的根”是不变的数值，而函数y f(x)的值是变化的，“函数y f(x)的零点”就是在变化的数值中寻找使其值为零的自变量的取值.这就是为什么我们可以借助函数的图象和性质，直观认识和理解函数的零点，并为零点存在性的判定提供依据，进而可以找到求出零点（或其近似值）的方法.

大教育家夸美纽斯在《大教学论》中说：如果先不教明概念，便是教得不好的[3].数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓.因此，数学概念教学是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视.

3.关于“函数零点存在性定理”的教学

我们可以设计一个“问题链”：

问题4：1)观察二次函数f(x) x2 2x 3的图象，可见函数在区间[-2，1]上有零点，填空：

；函数在区间[2,4]上有零点,填空: f( 2) ___,f(1) ____,f( 2) f(1)___0（填>,<,=符号）

f(2) ___,f(4) ____,f(2) f(4)___0（填>,<,=符号）.

2)如 …… 此处隐藏：4072字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……