Hessenberg型行列式的计算方法

玉溪师范学院学报(第27卷)2011年第8期 JournalofYuxiNormalUniversityVol.27No.8Aug.2011

数学研究

Hessenberg型行列式的计算方法

张丰硕 陈国燕

(玉溪师范学院理学院数学系,云南玉溪653100)

[关键词]行列式;Hessenberg型行列式;计算方法

[摘 要]分析了一类可以转化为Hessenberg型的行列式,并利用Hessenberg型行列式的计算方法,给出了这一类型行列式的适用的计算方法和技巧.[作者简介]张丰硕,硕士,讲师,研究方向:代数理论.

[中图分类号]O151.22[文献标识码]A[文章编号]1009-9506(2011)08-0009-03 本文针对一类可以转化称之为Hessenberg型行列式的行列式,给出其适用的计算方法和技巧.这类行列式的计算往往出现在各个高校的高等代数考研试题中.

解:按第一列展开得,Dn=xDn-1+an

=x(xDn-2+an-1)+an=xDn-2+xan-1+an

=x2(xDn-3+an-2)+xan-1+an=xDn-3+xan-2+xan-1+an=

形如|\\|、|\\|、|//|、|//|(除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外,其余元素全为零)的三线型行列式称为Hessenberg型行列式.

例如行列式:x

-1x

Dn=

-1x

-1

anan-1

an-2

-1xa2

-1a1+x

.

Dn==(x+a1)x

n-1

3

2

2

1 Hessenberg型行列式的计算

+a2x

n-2

+ +an-2x+xan-1+an

2

=xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an-2x2+xan-1+an例1 计算Hessenberg型行列式:

n-1

n-1x-1

x

-1

x-1

x

n-2

3

2

1

解:由前面的分析,按最后一列展开得 Dn=1+xDn-1=1+x(2+xDn)

=1+2x+x2Dn-2=1+2x+x2(3+xDn-3)=1+2x+3x+xDn-3=

=1+2x+3x2+ +(n-2)xn-3+(n-2

3

Hessenberg型行列式的计算方法很多,此处我们主要讨论按行或按列展开,展开能够得到递推公式的计算方法.在选择展开时,选择按只有两个非零元素的最后一列(行)或第一行(列)展开.

玉溪师范学院学报

1)xn-2+nxn-1=

x1b

Dn=

b bb

ax2b bb

aax3 bb

aaa

aaa axn

i=1

n

ixi-1

2 行列式的转化

有一些行列式,相邻行(列)的元素大部分对应相等,从最后一行(列)开始,后行减前行(后列减前列)可以出现很多零元素,从而将行列式转化为上面的Hessenberg型行列式.

例2 计算n阶行列式

x1a1

Dn=

a1 a1x1a1-x1

Dn=

0 0

a2x2a2 a2

a2x2-a2a2-x2

0a3a3x3 a3

a30x3-a3

0

anan

an,(xi ai) xn

an00 xn-an

xn-1

b

分析:上式具有相邻行的大部分元素对应相等的特征,所以从最后一行开始,后行减前行转化为Hessenberg型行列式,然后展开得递推公式来计算.

解:自最后一行开始,后行减前行得Dn=x1b-x1

0 00

ax2-ab-x2

00

a0x3-a 00

a00

xn-1-a

b-xn

a00 0xn-a

解:自最后一行开始,后行减前行得

此时的行列式就转化为Hessenberg型行列式,按最后一列展开,得

Dn=Dn-1(xn-a)+a(x1-b)(x2-b)

(xn-1-b)

(1)

由行列式的性质:行列互换,行列式不变.则 Dn=Dn-1(xn-b)+b(x1-a)(x2-a)

(xn-1-a)

(2)

如果a b,由(1) (xn-b)-(2) (xn-a)得

此时的行列式就转化为Hessenberg型行列式,按最后一列展开,得Dn=(xn-an)Dn-1+(-1)

-x1)

=(xn-an)Dn-1+an(xn-1-an-1) (x1-a1)=(xn-an)(xn-1-an-1)Dn-2+an-1(xn-an)(xn-2-an-2) (x1-a1)+an(xn-1-an-1) (x1-a1)=

=x1(xn-an)(xn-1-an-1) (x2-a2)+a2(xn

-an) (x3-a3)(x1-a1)+ +an(xn-1-an-1) (x1-a1)=(1+

n

n

n+1

an(an-1-xn-1) (a1

(a-b)Dn=a(x1-b)(x2-b) (xn-b)-b(x1

-a)(x2-a) (xn-a)aDn=

n

n

i=1

(x

i

-b)-b

a-b

i=1

(x

i

-a)

.

如果a=b,这就是上例中ai,(i=1,2, ,n)相等的情况.从而由上例的结果,

Dn=(1+

i=1n

n

)xi-a321 aa

i=1

(x

i

-a)

例4 计算n阶行列式

1

21a aa

n-1 n-2 n-3

1a

nn-1n-2 21

a

D=

n

i=1

ai

)

xi-ai

i=1

(xi-ai)

a aa

例3 计算n阶行列式

张丰硕 陈国燕:Hessenberg型行列式的计算方法

分析:此行列式的对角线上半部分相邻行(列)之间相差1,下半部分相邻行(列)之间全相等.它即具有相邻行(列)之间部分元素对应相等,部分元素相差1的特征.我们可以从最后一行开始,后行减前行将下半部分化为零,上半部分出现很多-1.然后又从最后一列开始,后一列减前一列就可以转化为Hessenberg型行列式来计算.

解:自最后一行开始,后行减前行得

1a-1

Dn=

0 001a-1

Dn=

0 00

2-1 001-a 00

3-1 0010 00

n-1

-1-1 -1

n-1-1 -1

此时的行列式就转化为Hessenberg型行列式,按最后一列展开Dn=-aDn-1+(-1)

n+1

n-1

(a-1)

=-a[-aDn-2+(-1)n(a-1)n-2]+(-1)n+1(a-1)n-1

=(-a)2Dn-2+(-1)n+1a(a-1)n-2+(-1)n+1(a-1)n-1= =(-1)

n+1

a

n-1

+(-1)

n+1

a

n-2

(a-1)+ +

(-1)n+1a(a-1)n-2+(-1)n+1(a-1)n-1=(-1)

n+1

a-1-1

i=1

(a-

n

1)i-1an-i

以上介绍了如何将一些行列式转化为Hes-senberg型行列式然后利用递推公式计算.需要注意的是在递推的时候也有一些技巧在里面,这也是上面这种方法在运用中的一个难点.转化为Hes-senberg型行列式来计算的方法也许不是这些行列式最简单的计算方法,但在无从下手时可以启发思维,起到抛砖引玉的作用.

a-1-1

100 -a

100 0

再从最后一列开始,后一列减前一列

a-1-a

a-1-a

参考文献:

[1]徐仲,陆全,张凯院,等.高等代数考研教案[M].陕西:西北工业大学出版社,2006:60.[2]王萼芳.高等代数教程习题集(第一版)[M].北京:清华大学出版社,1997:1-36.[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999:103-140.[4]许甫华,张贤科.高等代数解题方法(第一版)[M].北京:清华大学出版社,2001.[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002:22-56.

TheCalculationMethodofHessenberg-Determinants

ZHANGFengshuo CHENGuoyan

(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,YuxiNormalUniversity,Yuxi,Yunnan,China653100)KeyWords:determinant;Hessenberg-determinants;calculationmethod

Abstract:DeterminantsthatcanbetransformedintotheHeisenbergtypewerestudied.Theircommoncalculationmeth-odsandtechniqueswere …… 此处隐藏：1950字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……