2021年高三第一次模拟考试数学(理)参考答案

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实用文档 2011邯郸市一模考试理科数学

2021年高三第一次模拟考试数学（理）参考答案

一、选择题：DBCAC ABBDA DA

12题 解析：（方法一）

方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。原方程再化为此时把方程看作关于的二元一次方程，即点的直线方程。根据直线上的任一点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离可得：，两边平方得

而61

9)1(19)1(6)1(1]3)1[(1)2(222222222222-+++=+++-+=+-+=+-t t t t t t t t t 其中，

由函数的单调性可知，故选A

（方法二）

方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。原问题等价于关于方程在上有解，由函数的图象和性质知有5种情况：

（1） 方程的两根均大于等于2，此时可得，对照选项只要注意到第三个条件，就知本题答

案不在这种情况里.

（2） 方程两根均小于等于-2，此时可得，同上对照选项只要注意到第三个条件，就知本

题答案也不在这种情况里.

（3） 方程的两根一个大于等于2，另一个小于等于-2，此时可得，由线性规划知识可得点

所在的区域如图阴影部分所示，对照选项知这种情况里也没有所选答案.

（4） 方程有两个根一个大于等于2，另一个大于-2小于2，此时有，同上点所表示的区域

为下图，易求原点到直线距离为，所以的最小值为，

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（5）方程有两个根一个小于等于-2，另一个大于等于-2小于2，此时有，此种情况同上一种.

二、填空题: 13. 14. 15. 16.②④

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由余弦定理知，,

∴ , ……………………………2分

∴，

∵ ，∴. ……………………………4分

（Ⅱ）由正弦定理得 ,

∴ ∴)32sin(

2sin 2sin 2sin 2B B C B c b -+=+=+π )6

sin(32cos 3sin 3)sin 21cos 23(2sin 2π+=+=++=B B B B B B …………………………7分

,,

, …………………………8分

∴，

∴，

∴.

∴b +c 的取值范围为 …………………………10分

18．解：

（Ⅰ）设“每个社区都有同学选择”为事件A .

每名同学都有3种选择，4名同学的选择共有种等可能的情况.

事件A 所包含的等可能事件的个数为,

所以， ,

即每个社区都有同学选择的概率为. …………4分

（Ⅱ）设“一名同学选择甲社区”为事件B ,则.

4人中选择甲社区的人数可看作4次独立重复试验中事件B 发生的次数，因

精品文档 实用文档 此，随机变量服从二项分布. 可取的值为0，1，2，3，4. ………6分 ， . …………8分

0 1 2 3 4

…………12分

19．解：（Ⅰ）连结AC 1交A 1C 于点G ，连结DG ，

在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

四边形ACC 1A 1是平行四边形，

∴AG =GC 1，

∵AD =DB ，

∴DG //BC 1 , ………………2分

∵DG 平面A 1DC ，BC 1平面A 1DC ，

∴BC 1//平面A 1DC . ………………4分 （II ）解法一：易知在中可求，……6分

过D 作DE ⊥AC 交AC 于E ，过点D 作DF ⊥A 1C 交A 1C 于F ，

连结EF .

∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，DE 平面ABC ，

平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ，

∴DE ⊥平面ACC 1A 1，

∴EF 是DF 在平面ACC 1A 1内的射影。

∴EF ⊥A 1C ，

∴∠DFE 是二面角D —A 1C —A 的平面角， ………………9分 在直角三角形ADC 中， .

又易知，所以.

在直角三角形中，

1139213,sin .A D DC DE DF DFE A C DF ?==∴== ，∴.

所以二面角D —A 1C —A 的大小为……………………12分

解法二：易知在中可求，

过点A 作AO ⊥BC 交BC 于O ，过点O 作OE ⊥BC 交B 1C 1于E . 因为平面ABC ⊥平面CBB 1C 1

所以AO ⊥平面CBB 1C 1，分别以OB 、OE 、OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.………………………6分

因为BC =1，AA 1=，

△ABC 是等边三角形，所以O 为BC 的中点，则

)0,3,2

1(),43,0,41(),23,3,0(),0,0,21(),23,0,0(),0,0,0(11--C D A C A O

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实用文档 ………………8分

设平面A 1DC 的法向量为

则

13313(,0,),(,3,),42330,4

41330.2CD A C x z x ==-?+=??∴??--=?? 取13,(3,1,3).x A DC =-n 得平面的一个法向量为

可求平面ACA 1的一个法向量为. ………………10分

设二面角D —A 1C —A 的大小为，因为向量所成的角与所求二面角的大小相等， 则

所以二面角D —A 1C —A 的大小为……………………12分

20．解：（Ⅰ）的导数

由题意知,即 ………………2分

令解得令解得

从而在内单调递减，在内单调递增.

所以，当时，取得最小值1. ………………4分

（Ⅱ）解：因为不等式的解集为P ，且

所以对于任意，不等式恒成立.……………6分

由，得.

设，则.

（1）若，不等式显然成立. ……………8分

（2）若，则.

当,即时，，在上单调递增，

，此时，不等式成立. ……10分

当,即时，在上单调递减，

，此时，不等式不恒成立.

因此，实数a 的取值范围是. …………………………12分

21.解：（Ⅰ）依题意，可得，从而，故所求双曲线的方程为 . ………………………4分

（Ⅱ）解法一：设，由，消去x 可得，因为直线与双曲线有两个交点，故， 由韦达定理，得 ………………………………6分

两式相除，得 ,

所以，而C 点的坐标为，故直线AC 的斜率为

1112111113434134322AC y y y y my y k my x my +-+=

==+-+， ………………………………8分

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实用文档 所以AC 的方程为，

整理可得, ………………………10分

故直线AC 恒过点 . …………………………12分 解法二：

当时，直线方程为，将与联立求得点或，点或,求得直线的方程为或，由此判断直线过定点. ………………6分

就一般情况证明如下：

由，消去x 可得，

依题意，设，由韦达定理，得

……………………………………………8分

点，., ……10分 ∵2112121211241612()333(4348483131043

)4

CP AP y y my y y y k k my m m m m m y y m ++-=--=-=-+---++=+, 所以三点共线，直线AC 过定点 . …………12分

22．解:（Ⅰ）

∴，

∵，∴. ……………1分

由,

得.

两式相减得：,

即.

. ………3分

数列是首项为1，公差为3的等差数列,

. ………5分

（Ⅱ）由，得，

().

由, 知2)4

11()5311)(2311(?+??-+-+= n n a n . …………7分

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