2.4 粘滞流体的运动规律

第二章 流体的流动医学物理学 仇惠 余大昆主编 科学出版社

第四节 粘滞流体的运动规律一、粘滞性流体的伯努利方程 二、泊肃叶定律 三、斯托克斯定律

一、粘滞性流体的伯努利方程 粘性流体的粘性不能忽略， 粘性流体的粘性不能忽略， 流管外的流体对流管内的流 体存在着粘性力，此力对管 体存在着粘性力， 内流体做负功， 内流体做负功，致使总机械 能在不断地减少， 能在不断地减少，用ΔE表示 单位体积地流体从XY运动到 X’Y’的过程中的能量损耗。 的过程中的能量损耗。 于是，伯努利方程变为： 于是，伯努利方程变为：

1 1 2 ρυ 1 + ρ gh 1 + P1 = ρυ 22 + ρ gh 2 + P2 + E 2 2

如果流体在均匀水平管中稳 定流动， 定流动，则：

P1 = P2 + E可见： 因此， 可见：P1>P2,因此，水平 均匀细管中， 均匀细管中，必须保持一定 的压强差， 的压强差，才能时粘性流体 做稳定流动。 做稳定流动。 若是均匀的开放的管中维 持稳定流动， 持稳定流动，由 υ1 = υ 2 ,

ρgh1 ρgh2 = E

P = P2 = P0 1

则有： 则有：

第四节 粘滞流体的运动规律一、粘滞性流体的伯努利方程 二、泊肃叶定律 三、斯托克斯定律

二、泊肃叶定律 试验表明： 试验表明：在等截面的水平细管内做层流的粘性流 其体积流量与管子两端的压强差Δ 成正比， 体，其体积流量与管子两端的压强差ΔP成正比，即：

πR P Q= 8ηL4

R为管子半径， 为流体粘度系数， 为管子半径， 为流体粘度系数 为流体粘度系数， 为管子半径 L为管子的长度。此式即为泊肃叶定律。 为管子的长度。此式即为泊肃叶定律。 为管子的长度 泊肃叶定律

推导： 、速度分布： 推导：1、速度分布： 图中所取的圆柱形 流体元，所受到的压 流体元， 力差为： 力差为：

F = ( P1 P2 )π r

2

周围流体作用在该圆柱形流体元表面的粘性力为： 周围流体作用在该圆柱形流体元表面的粘性力为：

dυ f = η 2π rL dr式中的负号表示v 的增大而减小， 式中的负号表示 随r 的增大而减小，dv /dr 是流体在半径r处的速度梯度。 是流体在半径 处的速度梯度。 处的速度梯度 由于流体做稳定流动，流体受力平衡， 由于流体做稳定流动，流体受力平衡，即：

dυ ( P1- P2) πr = η 2πrL dr2

P1 P2 所以： dυ = rdr 所以： 2ηLP P2 2 积分得：υ = 1 r +C 4η L

P1 P2 2 R 因为r 的条件， 因为 =R时，v=0的条件，求得： C = 时 = 的条件 求得： 4ηL P1 P2 2 2 所以： (R r ) 所以： υ = 4ηL

r = 0 处， υ max

P1 P2 2 R = 4ηL

2、流量：圆管形流体元的截面积为 2π rdr ,则 、流量： 流体元截面的流量

为： 流体元截面的流量为： dQ = υ 2 π rdr

P1 P2 ( R 2 r 2 )rdr 代入得： dQ = π 代入得： 2η L则整个流管截面的流量为： 则整个流管截面的流量为：R P1 P2 Q= π ∫ ( R 2 r 2 )rdr 0 2η L

π R 4 ( P1 P2 ) 积分后得： Q = ,即为泊肃叶定律 积分后得： 8η L

泊肃叶定律可写为： 令R f = 8ηL / πR ,泊肃叶定律可写为：Q =4

PRf

表明： 表明：粘性流体在等截面水平细管中稳定流动 与两管得压强差Δ 成正比 成正比， 时，流量Q与两管得压强差ΔP成正比，与Rf 成 流量 与两管得压强差 反比。与欧姆定律相似，所以R 叫流阻。 反比。与欧姆定律相似，所以Rf 叫流阻。 流体流过几个“串联”得流管。 流体流过几个“串联”得流管。总流阻等于 各流管流阻之和，并联时与电阻相似。 各流管流阻之和，并联时与电阻相似。

Rf串 = Rf 1 + Rf 2

1 1 1 = + Rf并 Rf 1 Rf 2

例：成年人的主动脉半径为1.3×10-2 m,问在 成年人的主动脉半径为 × , 一段0.2m距离内得流阻 f 和压强降落ΔP时多少？ 一段 距离内得流阻R 和压强降落Δ 时多少？ 距离内得流阻 时多少 设：血液流量为Q=1.00×10-4m/s, = 3.0×10-3 血液流量为 × , = × Pa·s/m 。 解：

8ηL 8 × 3.0 × 10 × 0.2 4 Rf = 4 = = 5.97 × 10 Pa s / m 2 4 πR 3.14 × ( 1.3 × 10 ) 3

P = R f Q = 5 . 97 × 10 4 × 1 . 0 × 10 4 = 5 . 97 Pa可见：在主动脉中，血压的下降是微不足道的。 可见：在主动脉中，血压的下降是微不足道的。11

第四节 粘滞流体的运动规律一、粘滞性流体的伯努利方程 二、泊肃叶定律 三、斯托克斯定律

三、斯托克斯定律 物体在流体中作匀速运动时，表面附着一层流体， 物体在流体中作匀速运动时，表面附着一层流体， 与物体一起运动，因此受到粘性力的作用。 与物体一起运动，因此受到粘性力的作用。若物体时 球形的，球体所受阻力大小为( 为球的半径 为球的半径， 为 球形的，球体所受阻力大小为(R为球的半径，v为 球体相对于流体的速度 ) :

f = 6πηυ R

此式即为斯托克斯定律 此式即为斯托克斯定律

4 球在流体中受到的重力为： 球在流体中受到的重力为： G = π R 3 ρ g 3 球受到的浮力为( 球受到的浮力为(流 4 3

F浮 =

体的密度为σ): 体的密度为 ): 球受到的流体的阻力： 球受到的流体的阻力：

3

πR σ g13

f = 6πηυ R

球受到的合力： 球受到的合力：

4 4 3 F = π R ρ g π R 3σ g 6 ρηυ R 3 3最后匀速下降时： 最后匀速下降时：

4 3 πR ( ρ σ ) g = 6πηυ R 32 2 υ= R ( ρ σ )g 9η即为收尾速度14