第八章 第5节 平面及其方程

第五节 平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程

三、两平面的夹角

一、平面的点法式方程平面的法向量 :如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法向量.法向量的特征：x

z

nM

M0o

y

垂直于平面内的任一向量. n { A, B, C }, 已知 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 是平面上一点， 是平面的一个法向量，求该平面的方程。 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )2

必有 M 0 M n M 0 M n 0

M 0 M { x x 0 , y y0 , z z 0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0平面的点法式方程

其中法向量 n { A, B, C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).

用法 : 只要知道平面上的一点 及一个法向量就可写出平面的点法式 方程.3

例1 已知两点 A(1,2,3), B(2, 1,4),求: 过A点且 与线段AB垂直的平面方程. 解 取向量 AB作为平面的法向量， 即 n AB {1, 3, 1} 由平面的点法式方程知,所求平面方程为1 ( x 1) ( 3) ( y 2) 1 ( z 3) 0

即 x 3y z 2 0

例 2 求过三点 A( 2, 1,4) 、 B( 1,3, 2) 和

C (0,2,3)的平面方程.解

AB { 3, 4, 6}

AC { 2, 3, 1} i j k 取 n AB AC 3 4 6 {14, 9, 1},

2 3

1

所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得

14 x 9 y z 15 0.

例 3 求过点(1,1,1) , 且垂直于平面 x y z 7 和

3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程.解

n1 {1, 1, 1}, n2 {3, 2, 12} 取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},所求平面方程为

10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,化简得

2 x 3 y z 6 0.6

例4 已知平面过点(1,2,3)且垂直于y轴与z轴

z 夹角平分线( yoz面上) 解 : j {0,1,0} o k {0,0,1} x j k {0,1,1}在角平分线上

y

n {0,1,1} 方程( y 2) ( z 3) 0

即 y z 57

二、平面的一般方程由平面的点法式方程A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz 0 ) 0 D

Ax By Cz D 0 平面的一般方程 法向量 n { A, B, C }.8

平面一般方程的几种特殊情况：(1) D 0, 平面通过坐标原点；

D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；类似地可讨论 B 0, C 0 情形.

( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.9

例5 求过点 (4, 3, 1)和x轴的平面方程 .解:

平面过x轴,

可设方程为 By Cz 0将点(4, 3, 1)代入

3B C 0 C 3B即 By 3Bz 0 所求平

面方程为 y 3z 010

例 6 设平面过原点及点( 6, 3, 2 ) ,且与平面

4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.解 设平面为 Ax By Cz D 0,

由平面过原点知 D 0,

由平面过点 ( 6, 3, 2) 知 6 A 3B 2C 0

2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.

n {4, 1,2},

4 A B 2C 0

例7

设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P ( a ,0,0 ) 、

Q ( 0, b ,0 ) 、 R( 0,0, c ) (其中a 0 ,b 0 ,c 0 ) ,求此平面方程.

解

设平面为 Ax By Cz D 0,

aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c12

D D D 将A , B , C , a b c代入所设方程得

x y z 1 平面的截距式方程 a b c

x 轴上截距

y 轴上截距

z 轴上截距

三、两平面的夹角定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 (通常取锐角) 夹角.

n2

n1

1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2

2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C 2 },14

按照两向量夹角余弦公式有

cos

| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 22 2 2 2 2 2

两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：

(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C 2 0;

A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 215

例8 研究以下各组里两平面的位置关系：

(1) x 2 y z 1 0, ( 2) 2 x y z 1 0, ( 3) 2 x y z 1 0,解

y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0

| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32

1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 6016