七年级第十六讲之 角

角的计算,方程的思想计算角,设参消参,角的动态问题

第十六讲 角

【知识清单】 角的概念

（1）由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的 ，这两条射线叫做 。

（2）由一条射线绕着它的端点，从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角. 2、角的表示法

（1）用角的顶点和两边上各一点的三个 表示，如图①中的角，记 作∠AOB；（注：顶点字母写在中间。）

（2）在角的顶点处只有一个角时，用一个字母表示，如∠AOB也可记作 ； （3）用希腊字母加弧线表示，如图②，∠ABC记作 ； A （4）用数字加弧线表示，如图②，∠ACB记作 。

3、角的单位

（1）角的度量单位是 ，把一个平

O B O C 角180等分，每1份就是1度的角，记作 ； ① ② 把1°的角60等分，每份就是1分的角，记作 ；又把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作 。

（2）换算：六十进制 1°=60，1=60。 4、方位角

方位角是表示方向的角，这种表示方向的方法在实际 问题中出现较多，具体表示时南北在前，再写偏东或偏 西多少度，如图所示，OA表示为“ ”。 5、角的计数:由一个顶点引出n条射线共有 个角 (小于或等于平角)。

南

西

O

东

'

'

''

北

6、从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫这个角的角平分线。

【基本概念】

【例1】 下列说法正确的是（ ）

A、 两条射线组成的图形叫做角 B、 角是由一条线段绕着它的端点旋转组成的图形叫做角 C、 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 D、 角是由一条射线绕着它的端点旋转面组成的图形。

[练一练]

1、 下列说法正确的是 A、 平角是一条直线 B、 一条射线是一个周角

C、 两边成一条直线时组成的角是平角 D、 两个锐角的和一定是钝角。

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2、.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算

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( )的结果依次为28°， 48°，

88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

3、船的航向从正北按顺时针方向转到东南方向，它转了（ ）。 A、135° B、225° C、180° D、90° 【例2】 把38.43°化成度、分、秒,把33。24'36''转化成用度表示的形式

[练一练]

1、48.26°= °″， 84°37′12″°； 32.48°= °″， 75.5°= ′″ ， 2、计算：32°16′× 15°20′÷；

82°-57°14′22″ 13°39′5″+ 61°48′59″

3、如图所示，在∠AOB的内角部有两条射线OC，OD， （1） 请问图中有几个角？

D

。

（2） 若画出3条射线共有几个角？

（3） 若连OA、OB在内，从O点引出的射线一共有n

【角的计算】

【例3】 如图，∠AOB= 90,∠AOC是锐角，OE平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠EOF的度数。

[练一练]

①如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠COB=50°，∠DOC=30°，那么∠AOE=（ ）

DE

C

B

A

D

C

A

① ② ③

②、如图，CO⊥AO，DO⊥BO，∠BOC=30°，则∠AOD的度数 。

③、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC 70 ，则∠BOD的度数等于_______．

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④如右图，若∠3∶∠2 = 2∶5，且∠2-∠1=12，∠3等于______________

D

o

o

o

N

1

B

O

M

A

⑤、如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=50，∠BOC=10，则∠AOD= 【方程思想的运用】

【例4】 如图，AB为直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，

1

∠DOE= 3∠BOD，∠COE=72°，求∠EOB的度数．

[练一练]

1、如图：∠AOB：∠BOC：∠COD=2：3：4，射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON=90°，则∠AOB为（ ）

2、 如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已

知∠AOC=80°，求∠MON的度数．

3、如图所示，

OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=90°，∠BOC=26°，求∠AOD的度数．

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【余角与补角】

【例5】 一个角是另一个角的3倍，且小有的余角与大角的余角之差为20°，求这两个角的度数。

2、已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3=

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(∠l一∠2)

【动态问题】

1、如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，

（1）求∠MON的大小，并说明理由；

（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O

以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM：∠BON=7：11，如图3所示，求x的值．

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2、如图

1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 _________秒（直接写出结果）； （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

3、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．

（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 _______（直接写出结果）．

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM-∠NOC的度数．