等比数列及其前n项和

等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字

an＋1母q表示，定义的表达式为aq(n∈N*，q为非零常数)． n

(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 2＝ab.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝an－1.

1，q＝

(2)前n项和公式：Sn＝a1 1－qn a1－anq 1－q1－qq≠1.

3．等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2r.

特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝ .

(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k， 仍是等比数列，公比为qk；

数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m， 仍是等比数列(此时q≠－1)；

an＝a

mqn－m.

典题导入

[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[例2] (1)(2013·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1

133＋log3a2＋ ＋log3a7)的值为( )A. B.．1 D．－ 222

[例3]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于( )

A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．

1∶3

由题悟法

等比数列的判定方法

an＋1a(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，anan－1

则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 数_列_求_和

[知识能否忆起]

一、公式法

1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.

2．一些常见数列的前n项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋ ＋nn n＋1 2

(2)1＋3＋5＋7＋ ＋2n－1＝2；

(3)2＋4＋6＋8＋ ＋2n＝2＋n.

二、非等差、等比数列求和的常用方法

1．倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．

2．分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

[小题能否全取]

1．(2013·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( ) n[ －1 n－1]A. 2

－1 n＋1C. 2 －1 n1＋1 2－ －1 n－1D. 2

S 2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列 n 的前10项

的和为( )

A．120

C．75 B．70 D．100

11115，， ，， 的前n项和为________． 2×44×66×82n 2n＋2

数列求和的方法

(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：

①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．

②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．

典题导入(错位相减法求和)

[例1] (2012·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)， 且a2＝4，a6＝8a3.

(1)求an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn.

1．(2013·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.

(1)求k的值及数列{an}的通项公式；

an＋1(2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn. 2

用错位相减法求和应注意：

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1

两种情况求解．

裂项相消法求和

[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝

1．(2013·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.

(1)求数列{an}的通项公式；

111(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得S1S2S3

1＋S<k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由． n

2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S1＋2S2＋ ＋nSn. 2，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1