2016中考数学专题预测解析：12+函数之二次函数几何应用问题

2016中考数学专题预测解析

版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net 专题12 函数之二次函数几何应用问题

中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。

一. 以三角形为背景问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2

y=a x 3+4-与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为斜边的等腰直角三角形ABC 的顶点C 的坐标为

.

【答案】（3，7）或（3，1）。

【考点】二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用。

∴CD=AD=3，且CD ⊥AB 。

∴若点C 在AB 上方，则C 1（3，7）；若点C 在AB 下方，则C 2（3，1）。

2. 如图，抛物线2y x bx c =-++的顶点为D （﹣1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；

（3）若点E 在抛物线上，EF ⊥x 轴于点F ，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，试求出所有满足条件的点E 的坐标。

【答案】（1）由题意得 2b 124c b 44?-=-??-?--?=?-?

，解得：b 2c 3=-??=?， ∴解析式的解析式为：2y x 2x 3=--+。

（3）设E ()

2x,x 2x 3--+ ，分两种情况讨论：

①若△A FE ∽△ACD，如图1，则AF EF AC DC =

= 整理，得23x 7x 60+-=，解得122x ,x 33=

=- （与点A 重合，舍去）， 当2x 3=时，11y 9

=。

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net ∴此时，点E 的坐标为211,39?? ???

。

【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。

3. 如图，抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0， 3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D ，DE⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

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【答案】（1）∵抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），

∴可设抛物线的解析式为：()()y a x 3x 1=+-，

将C 点坐标（0， 3）代入，得：()()a 03013+-=，解得 a 1=-。

∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+。

∴PN=PE ﹣NE=（2x 2x 3--+）﹣（x 3+）=﹣x 2

﹣3x 。 ∵S △PAC =S △PAN +S △PCN ， ∴()22113327S PN OA 3x 3x x 22228

??=?=?--=-++ ???。 ∴当x= 3

2-时，S 有最大值278，此时点P 的坐标为（32-，154

）。

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net （3）在y 轴上存在点M ，能够使得△ADE 是等腰直角三角形。理由如下：

∵()2

2y x 2x 3x 14=--+=-++，∴顶点D 的坐标为（﹣1， 4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。

二. 以四边形为背景问题

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net 4如图，平行四边形ABCD

中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.

（1）求点的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式.

【答案】（1）A （2，0），B （6，0），C （4，8）；（2）y=-2x 2+16x+8

【解析】

（2）由抛物线的顶点为C （4，8），

可设抛物线的解析式为y=a （x-4）2+8，

把A （2，0）代入上式，

解得a=-2．

设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k ，

把（0， 8）代入上式得k=32，

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线2y ax bx c =++(a 0)≠过点B 。

（1）若a ＝－l ，且抛物线与矩形有且只有三个交点B 、D 、E ，求△ BDE 的面积S 的最大值；

（2）若抛物线与矩形有且只有三个交点B 、M 、N ，线段MN 的垂直平分线l 过点C ，交2y ax bx c =++D A B C ，，A B ，x 2y ax bx c =++C (08)，D 4AB =

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net 线段OA 于点F 。当AF ＝1时，求抛物线的解析式。

【答案】（1）∵a ＝－l ，∴2

y x bx c =-++。

又∵抛物线2y x bx c =-++过点B(6，3)，∴3366b c =-++，

即c 396b =-。

∴2y x bx 396b =-++-

如图① ，当抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、OC 边上时，

抛物线与ｙ轴的交点应落在原点或原点下方。

∴ 当x ＝0时，y≤0。

∴396b 0-≤，即13b 2≥

。 由抛物线的对称性可知： ()b b BD 262612b 2a 21??????????=?--=?--=-???? ????-??????????

。 又∵ △ BDE 的高＝BC ＝3，∴ S ＝()1312b 3b 1822?-?=-+。 ∵ 3<02

-＞0，∴ S 随b 的增大而减少。 ∴ 当b ＝132时，S 的最大值＝3133318=224

-?

+。

如图② ，当抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、AO 边上时，

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版权所有：中华资源库 http://doc.guandang.net 抛物线与直线x ＝0的交点应落在线段AO 上且不与点A 重合，即0≤E y ＜3。

当x ＝0，则y 396b =-，∴ 0≤396b -＜3，∴

1113<b 22≤。 ∴ AE ＝()3396b 6b 36--=-。

∴ S ＝1

2B D·AE ＝

()()()22112b 6b 363b 54b 2163b 9272

?-?-=-+-=--+。 ∵ 3-＜0，∴ S 随b 的增大而增大。

∴ 当b ＝

132时，S 的最大值＝334

。 综上所述：S 的最大值为334。 （2）当a ＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

当a ＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：

① 当点M 、N 分别在AB 、OC 边上时．

如图③ ,过M 点作MG ⊥ OC 于点G ，连接CM ，

∴ MG ＝OA ＝3．∠2＋∠ MN Ｇ＝90°。

∵ CF 垂直平分MN ．

∴ CM ＝ＣN ，∠1＋∠ MN Ｇ=90°，∠ 1＝∠ 2。

∵ AF ＝1，OF ＝3－1＝2。

∴ OF 21tan 1OC 63∠=

==，GN 1tan 2tan 1GM 3∠==∠=。 ∴ GN ＝13

GM ＝1。 设N(n ，0)，则G(n ＋1，0)，∴ M(n ＋1，3)。 ∴ BM …… 此处隐藏：3218字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……