3-1连续系统数值积分仿真方法学

第三章 连续系统数值积分 仿真方法学

3.1 3.2 3.4 3.5 3.6 连续系统数值积分法基本原理 Runge-Kutta积分法 数值积分法稳定性分析 数值积分法的选择与计算步长的确定 通用仿真程序

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概述

连续系统仿真：借助于计算机，求解数学模

型 关键问题：如何选择一种算法，将系统模型 转化为能在计算机上运行的离散模型 两类仿真算法： 数值积分法：欧拉法、龙格-库塔法 离散相似法：离散状态法、屠斯丁法

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连续系统的数学模型

一、微分方程：

常见：单变量、线性定常微分方程。

y’’+5y’+6=3x 它是根据数学力学原理推导而出

二、传递函数

G（S）=Y（S）/X（S） 三、状态方程

中间状态—输入之关系

输出方程：中间状态—输出关系

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连续系统仿真步骤

1 建立数学模型：微分方程、状态方程、传

递函数 2 建立仿真模型：选择仿真算法，将数学模 型转化为仿真模型 3 编写运行程序：选择某种语言，写出计算 机仿真程序，进行运行，获得仿真结果

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数值积分法系统仿真

数值积分法：面向方程的系统仿真、面向结

构图的系统仿真。 数值积分法：

y t f t , y t a t b y 0 y0

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数值积分法的任务：寻求真解在一系列离散

点上数值解 数值积分法要解决的问题：如何对函数F（t， y）进行数值积法 基本方法：单步法、多步法、预估—校正法 （精度、速度、稳定性不一样） 基本思路：以欧拉法为例进行说明。

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在若干离散点处，求出若干的y值来代替连续

变量y（t），数值积分法就是一种把连续变 量离散成离散变量的一种方法。 一、 欧拉法

yk 1 yk t k 1 t k y t k

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y 0 y0 y 0 f 0, y0

y1 y0 t 2 t1 f 0, y0

y2 y1 t3 t 2 f t1 , y1

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举例

y y 0 y 0 1 h 0.1

2

yn 1 yn hf tn , yn yn h y yn 0.1y

2 n

2 n

y1 y0 0.1y 0.9

2 0

由于是近似的，肯定有误差，可减小步长

y2 y1 0.1y 0.819

2 1

h=tK+1-tK，但步长过小，计算量太大，通过此 法提高精度是有限的。

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二、 改进欧拉法（梯形法）

用梯形面积代替小区间曲线积分，可以比欧

拉法提高精度。

yk 1 y

0 k 1

h 0 yk f t k , yk f t k 1 , yk 1 2 yk hf t k , yk

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一次迭代求近似解 p yn 1 yn hf tn , yn

y

c n 1

先用欧拉法进行预估，再