《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案

课后答案

第1题答案：

当取初始点x=

[]时，x=[]，f(x)=0.63。

30

2

1.110.56

2

第2题答案：

取x=

[]时，x=[]，f(x)=0.17。

30

2

1.570.97

2

第3题答案：

x2=

[]，f(x)= 1。

11

2

第4题答案：

取x=

[]

11

1

时，x=

25

2

[]，f(x)= 7.996。

9948.5

2

第5题答案：

可参考表4-1。

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第1题答案：

x=[4 0 0 0.333]时， f(x*)=∑cjxj= 5.567。

*

T

第2题答案：

x*=[20 24 84 0 0]，z= 428。

T

第3题提示：

求解方法可参考第四节中的应用实例。

第4题提示：

如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j=1,2,L,5)的值，满足下列限制条件

x1+2x2 +x4 =100

2x3+2x4+ x5 =100

3x1+x2+2x3 +3x5=100

xj≥0 (j=1,2,L,5)

使总的尾料

z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5 达到最小。

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第六章 第1题答案：

x

k+1

= 0.822 1.176

第2题答案：

x2 R

= 1.4825

5.945

，f1R= 41.43。

第3题答案：

dk

= 0.707 0.707

第4题答案：

0

dk= 0.243 0.97

第5题答案：

当r→0时，x2→3，该问题的最优解为：

x= 1 3

。

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第六章习题解答

1．已知约束优化问题：

minf(x)=(x1 2)2+(x2 1)2

s t

g1(x)=x12 x2≤0g2(x)=x1+x2 2≤0

试从第k次的迭代点x

(k)

=[ 12]T 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254

(k+1)

所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点x数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：

。并作图画出目标函

SR

0.562=

22

0.562+0.254

(k+1)

0.254

22

0.562+0.254

T

=[0.911 0.412]T

2) 用公式：x

=x(k)+αSR 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界

上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

xx

k+1k+1

2

=x1k+αSR1= 1+2×0.911=0.822=x

k2

+αSR2=2+2×( 0.412)=1.176

k+1

即：X

0.822 = 1.176

该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

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2．已知约束优化问题：

2

minf(x)=4x1 x2 122

25≤0g1(x)=x12+x2

g2(x)= x1≤0g3(x)= x2≤00

1]T,x3=[3

s t

试以x10=[20

1]T,x2=[4

3]T为复合形的初始顶点，用复合形法进行

两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

x10=[21] f10= 5

0x2=[41] f20=3 0x3=[33] f30= 9

00

经判断，各顶点均为可行点，其中，x3 为最好点，x2为最坏点。0 2）计算去掉最坏点 x2 后的复合形的中心点：

xc0

1

=L

1 2 3 2.5 3 0

x=∑i2 1 + 3 = 2 + 3

i=1

i≠2

3

1

3）计算反射点xR （取反射系数α=1.3）

2.5 4 0.55 2.5 10

xR=xc0+α(xc0 x2)= +1.3 = 3.3 221

11经判断xR为可行点，其目标函数值fR= 20.69

4）去掉最坏点x2，由x1，x3和xR构成新的复合形，在新的复合形中

1

xR为最好点，x10为最坏点，进行新的一轮迭代。

0001

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

1

=xc

1 3 0.55 1.775

+ = 2 3 3.3 3.15

6）计算新一轮迭代的反射点得：

1.775 2 1.4825 1.775 211

xR=xc+α(xc x10)= +1.3 = 5.945 3.153.151

21

经判断xR为可行点，其目标函数值fR= 41.413，完成第二次迭代。

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3．设已知在二维空间中的点x=[x1x2]T，并已知该点的适时约束的梯度

1]T，试用简化方法确定一个适用

g=[ 1 1]T，目标函数的梯度 f=[ 0.5

的可行方向。 [解] 按公式6-32 d x x

k

k

= P f(xk)/P f(xk)计算适用的可行方向：

k

点的目标函数梯度为： f(x

)=[ 0.51]T

k

点处起作用约束的梯度G为一个n J 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：

G= g1(xk)=[ 1

梯度投影矩阵P为：

1]T

1

P=I GGG

[

k

T

]

1

G

T

10 1 1

= [ 1 1]

01 1 1

0.5 0.5

[ 101]=

0.50.5

则：适用可行方向为：

d

0.5 0.5 0.5

=

0.50.5 1 0.5 0.5 0.5 0.707 0.50.5 1 = 0.707

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4．已知约束优化问题：

minf(x)=

s t

422()(x1 x1x2+x2) x33

g1= x1≤0 g2= x2≤0g3= x3≤0

试求在x

k

=[0

1/4

k

1/2]T点的梯度投影方向。

[解] 按公式6-32 d x x

k

= P f(xk)/P f(xk)计算适用的可行方向：

k

点的目标函数梯度为： f(x

)=[ 0.125

0.25

1]T

k

点处起作用约束的梯度G为一个n J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：

G= g1(xk)=[ 1

梯度投影矩阵P为：

0]T

1

P=I GGTG

[]

1

GT

1 100 1

0=010 0 [ 100]

0 0 001

000 [ 100]= 010

001

则：适用可行方向为：

d

k

000 0.125 = 010 0.25

1 001 000 0.125

010 0.25

1 001 0

= 0.243

0.97

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2

minf(x)=x12+x2 2x1+1

s t

（提示：可构造惩罚函数

g1=3 x2≤0

2

） φ(x,r)=f(x) r∑ln[gu(x)]，然后用解析法求解。

u=1

[解] 构造内点惩罚函数：

2

φ(x,r)=f(x) r∑ln[gu(x)]=x12+x2 2x1+1 rln(3 x2)

u=12

令惩罚函数对x的极值等于零：

dφ 2x1 2

= =0 dx 2x2 ( r)/(3 x2)

x1=1

得：

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