求反函数的步骤

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反函数

求反函数的步骤

函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量X Y,并且 如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值， 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X ,Y都有唯一确定的值和它对应 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的 函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 的值对应的Y 叫做函数的值域。

记为：

y=f(x)

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完成下列填空：R 值域是 R 。 的定义域是______,值域是 值域是_______。如果由 (1)函数 )函数y=2x的定义域是 的定义域是 1 y 这样对于y在 上任一个值 y=2x解出 解出x=_______, 这样对于 在R上任一个值，通过式子 解出 上任一个值， 2 1 上有________的值和它对应 的值和它对应， 的函数。 在 上有 是 y 的函数 x = y,x在R上有唯一确定 的值和它对应，故x是____的函数。 2 原函数: y=2x 原函数 1 2 : x R 乘以2 乘以 2 4 : y R

1 新函数： 新函数： x = y 22 4 : y R 除以2 除以 1 2 : x R

这个新函数的自变量是______,对应的函数值是_______。 ,对应的函数值是 x 这个新函数的自变量是 y 。

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的值和它对应， 的函数。 的值和它对应，故x是____的函数。 是 y 的函数 原函数： 原函数： 表达式： 表达式：

的定义域是________,值域是________。 y = x + 1 的定义域是 [-1,+∞) ,值域是 [0,+∞) 。 y 1 则对于 解出x=_________,则对于 在 [0,+∞)上 则对于y在 ， ∞ 上 如果由 y = x + 1 解出 y 1 的任一个值，通过式子x=_________,x在[-1,+∞)上有 唯一确定 上有__________ 的任一个值，通过式子 在 ∞ 上有 (2)函数 )22

新函数： 新函数：

y = x +1[0,+∞) ∞

x = y 12

定义域： ∞ 定义域： [-1,+∞) 值域： 值域：

[0,+∞) ∞ [-1,+∞) ∞

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1 y (y∈R) 在(1)中，我们称新函数 x = 中 ∈ 2 反函数. 为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数 为原函数 ∈同样，在(2)中，也把新函数 x 同样， 中 ) = y 1 (y≥0)2

反函数. 称为原函数 y = x +1 (x≥-1) 的反函数

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反函数的概念我们根据这个函 函数 y = f (x ) ( x ∈ A )中，设它的值域为 C 。我们根据这个函

….. 中的任何一个值， 于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x = ( y ) , x 在 A 中都有唯一 …………………………………. 的值和它对应，那么， 是自变量， 的值和它对应，那么， x = ( y ) 就表示 y 是自变量， x 是自变量 …………………………………. y 的函数。这样的函数 x = ( y ) ( y ∈ C )叫做函数 y = f (x) 的函数。 ……( x ∈ A ) 记作 ，记作 ，

的关系， 表示出， 如果对 数中的 x , y 的关系

,用 y 把 x 表示出，得到 x = ( y ) 。如果对

x = f ( y) 对换x,y 改写成 y=f-1(x) 对换 按照习惯， 按照习惯，

1

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如：1 f (x) = x(x ∈R). 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是 的反函数是_______________ 函数 ∈ 的反函数是 2 1

函数 f ( x) = x + 1 ( x ≥ 1) 的反函数是 f-1(x)=x2-1 (x≥0)

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反函数与原函数的关系： 反函数与原函数的关系：原函数表达式： 表达式 定义域： 定义域 y=f(x) A C

反函数y=f –1(x) C A

值域： 值域：

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求下列函数的反函数： 例1.求下列函数的反函数： 求下列函数的反函数(1)y = 3x 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且 ≠ 1) x x 13

y +1 解:(1)由 y=3x-1 ,解得 x = 由 y=3x3 的值域是R, 而函数 y = 3x 1( x ∈ R) 的值域是 ， 所以， 所以，函数 y = 3x 1( x ∈ R) 的反函数是

x +1 y= 3

( x ∈ R)

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求下列函数的反函数： 例1.求下列函数的反函数： 求下列函数的反函数(1)y = 3x 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x 1 y = x 3 + 1 ,解得 x = 3 y 1 解: (2)由3

而函数 y = x 3 + 1( x ∈ R ) 的值域是 R, , 所以， 所以，函数 数是y = x + 1( x ∈ R) 的反函3

y = x 13

( x ∈ R)

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求下列函数的反函数： 例1.求下列函数的反函数： 求下列函数的反函数(1)y = 3x 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x 13

解:(3)由 y = x + 1 ,解得 :(3)由

x = ( y 1)

2

而函数 y = x + 1( x ≥ 0) 的值域是

{ y y ≥ 1}

所以， 所以，函数 y = x + 1( x ≥ 0) 的反函 数是

y = ( x 1) 2 ( x ≥ 1)

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求下列函数的反函数： 例1.求下列函数的反函数： 求下列函数的反函数 3 (1)y = 3x 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x 1 2x + 3 y+3 ,解得 x = (4)由 解:(4)由 y = (4) x 1 y 2 2x + 3 而函数 y = 的值域是 { y ∈ R y ≠ 2} x 1 2x + 3 所以， 所以，函数 y = ( x ∈ R, 且 x ≠ 1) x 1 x+3 的反函数是 y = ( x ∈ R , 且 x ≠ 2) x 2

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求反函数的步骤： 求反函数的步骤：

y = f ( x) → x = f ( y ) → y = f ( x)(1)反解 反解: 反解 看作是x的方程 把y=f(x)看作是 的方程，解出 看作是 的方程，解出x=f –1(y); (2)互换： 互换： 互换 互换得y=f –1(x),并注明其定义域 将x,y互换得 互换得 并注明其定义域 (即原函数的值域 )。 。 注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域

1

1

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课堂练习： 课堂练习：P68. Ex.1 ---- 4.

2.求函数 例2.求函数 y = 1 1 x 2 ( 1 ≤ x < 0) 的反函数 求函数y=x2-1 (x≤0)的反函数； 的反函数； 例3. (1)求函数 求函数 的反函数 (2)求函数 求函数y=x2-2x-1 (x≤1)的反函数 的反函数. 求函数

的反函数

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是否任何一个函数都有反函数？ 是否任何一个函数都有反函数？∞ 的定义域是_____,值域是_________。 (3)函数 )函数y=x2的定义域是 R ,值域是 [0,+∞) 。如果由 y=x2解出 解出x=_________,对于 在[0,+∞)上任一个值，通过式子 对于y在 上任一个值， ∞ 上任一个值 ± y 对于

x = ± y,

x在R上有 两个 在 上有 上有_____值和它对应，故x____y的函数。 值和它对应， 不是 的函数 的函数。 值和它对应

这表明函数y=x2没有反函数！ 没有反函数！ 这表明函数

并非所有的函数都有反函数！ 并非所有的函数都有反函数！

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小结： 小结：1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记 反函数的概念及记号； 反函数的概念及记号 的反函数记 y=f –1(x) 为 2.求反函数的步骤： 求反函数的步骤： 求反函数的步骤 (1)反解 把y=f(x)看作是 的方程 …… 此处隐藏：2148字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……