投入产出模型及其改进版本-input output model

介绍了投入产出模型及其改进,以及应用场景的提升。

投入产出模型及其改进版本-新时代新应用

前言： 与一般的教材、课件不同，本文首先回顾基本的投入产出模型及其应用，然后重点介绍其在学术文献中的改进版本以及应用领域的扩展，因而对数学建模选手和学术研究人员均有较大参考价值，对改进模型逐渐深入的展开对开拓思路非常有帮助，也可以了解国外研究人员是如何能够在同一个问题上发表一系列文章的。

以现有趋势来看，基本可以说，凡是涉及到多个系统之间相互作用的问题，大家都可以用投入产出模型试一试，很有可能会取得创新性的研究成果。尤其在大数据的背景下，许多以前没法用的数据现在能用了，投入产出模型的应用价值还有待进一步开发。最后，简要描述了投入产出模型的优势和局限性。

1.提出背景：

国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约的关系，每个部门都将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出），根据各部门间投入和产出的平衡关系，投入产出模型对于研究和分析国民经济各部门之间的数量依存关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求和制定国民经济的计划与规划等都具有十分重要的作用。 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究了投入产出模型。

2.投入产出表

投入产出表指能够把国民经济各部门之间所有产品的投入与产出关系都表现出来的统计表格，反映国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系，是建立投入产出模型的基础。

下表是中国某年的投入产出表（单位：亿元）：

表格 1

为了保持国民经济的平衡，每个部门的总投入和总产出是相等的。

从所用数据资料的范围来看，它属于国家投入产出表；

从数据资料的度量单位来看，它属于价值型投入产出表，即所用的数据资料都是以产品的价格单位度量。最常用的就是价值型投入产出表。

3.直接消耗系数表

通常，投入产出表中的数字是随时间不断变化的，在分析各部门之间的投入产出关系时，为了使用一些相对稳定的指标来寻找其中的内在规律，引入了直接消耗系数表。

直接消耗系数是投入产出应用分析研究最重要的指标。可在投入产出表的基础上求算直接消耗系数，它可显示出各个部门在生产中的技术经济联系

下表是与上面投入产出表对应的直接消耗系数表：

介绍了投入产出模型及其改进,以及应用场景的提升。

表格 2

在表格1中，运输邮电部门消耗403亿元工业部门的产品，总产出为1570亿元。所以运输邮电部门的单位产出对工业部门的直接消耗是403/1570=0.257。由于每个部门的总投入和总产出相同，在计算表格2时只需将表格1中每行的数字除以最后一行的数字即可。 另外，求出直接消耗系数后，可通过算术运算推求出间接消耗系数。

4.投入产出数学模型

设共有n个部门，各变量含义如下：

xi~第i部门的总产出；

xj~第j部门的总投入；

di~对第i部门的外部需求；

xij~第i部门对第j部门的投入，也是第j部门总产出对第i部门的直接消耗；

aij~直接消耗系数，第j部门单位产出对第i部门的直接消耗；

每个部门的总产出等于总投入：

xi

直接消耗系数的定义：

写成矩阵形式： 代入： xij j 1n di aij xij/xj nxi aijxj j 1 di

其中，

进一步可以写成： x Ax d A (aij)n n x (I A) 1d

(I A) 1成为列昂节夫逆矩阵。

5.模型应用[1]

这部分以问题的形式给出如何应用投入产出模型，因其解法较为简单，不再赘述。毕竟，提出恰当的问题是大家在数学建模或者学术研究中面临的最困难的问题。

介绍了投入产出模型及其改进,以及应用场景的提升。

问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1600, 4000, 3200, 600, 980, 4000亿元,问这6个部门的总产出分别应为多少？

问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出应分别增加多少？

6.模型的改进版本及新的应用领域[2]

原模型提出于1973年。

1) IIM[3]

2001年提出的将投入产出用于关键基础设施系统的第一代模型。将投入产出的量替换为各系统的风险，将源替换为管理资源。

即可以理解为将原有模型套用在了新的问题上。

2) demand-reduction IIM[4]

将d的输入、输出性质改变了，原模型中d表示某个产出量，在新模型中d表示某个投入量。即模型的表面形式虽然没变，但是有些变量的“方向”变了。研究了在需求降低的情况下关键基础设施系统的变化情况。

3) dynamic IIM[4]

使用了原投入产出模型的动态形式：

这是微分方程模型，而之前的稳态形式是代数方程模型。

通过对变量的重新解释，可以研究在发生需求降低或恐怖袭击后系统的恢复过程和行为。 代数方程模型是微分方程模型在平衡点的描述。

最后，使用实际数据得到了模型中的重要参数。

4) supply-side price IIM & output-side IIM & Output-Supply Mixed Model[5] 这属于分析模型中不同参数的影响，分析完需求开始分析源和输出，以及多因素的混合分析。并在混合中引入了新的点，比如级联失效。可见老外搞研究不仅是尽可能穷尽一个模型的所有可能，在这个过程中还具有敏锐的洞察力，常常顺便发现新的点，善于给出新的解释。 另外，还要注意到原模型的假设，新模型的假设，明确模型的适用条件和范围。是提纲挈领性质的模型还是可以做实际预测的模型，这在能不能工程应用上有很大的差别！往往提纲挈领性质的研究显得更加高深，容易发SCI啥的，但是也不尽然。我们要理解，许多现在看起来不靠谱、没有实用价值的研究说不定以后就能够用了。比如我们有可能获得以前无法取得的数据，从而使一些模型得到实际应用。

5) International Trade IIM[6] 应用场景再次扩大，我们回顾一下，从国民经济各部门到关键基础设施，这里扩展到国际贸易，分析当一个主要贸易口关闭的等后对国际贸易整体的影响。

显然，宏观经济学的味道更佳浓了。

6) Multi regional IIM[7]

从这几篇参考文献的作者来看，可以说是找到一个大坑就可以一直灌水了。能为一个老模型找到新的应用场景，并且不断在新的层面和新的尺度上展开不得不说是一种水平。 从区域内扩展到了区域间。

这部分或许还有东西可以做！比如不同系统可能在地域划分上不一样。

7) Computable General Equilibrium(CGE)[8][9][10]

继承了投入产出模型的优点，并弥补了许多不足，考虑的因素更多。待续。

7.优势和局限性

介绍了投入产出模型及其改进,以及应用场景的提升。

优势：解析解，能够较简单地分析许多问题，所需数据能够获得

局限性：不能分析最小尺度的单个设施；适用于小扰动，因为打扰动会导致宏观经济的数据发生较大改变。（启发？）

8.参考文献

[1] 数学模型[M]. 高等教育出版社, 2011.

[2] Review on modeling and simulation of interdependent critical infrastructure systems

[3] Haimes Y Y, Jiang P. Leontief-based model of risk in complex interconnected infrastructures[J]. Journal of Infrastructure systems, 20 …… 此处隐藏：3000字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……