高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子

一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

1

例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是

a

[ ]

A．a＜x＜

1a

1

B．＜x＜a

a

1

C．x＞或x＜a

a

1

D．x＜或x＞a

a

1

分析 比较a与的大小后写出答案．

a

11

解 ∵0＜a＜1，∴a＜，解应当在“两根之间”，得a＜x＜．

aa

选A．

例2 x2 x 6有意义，则x的取值范围是

分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

．

解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

b

( 1) 2 1 a

得

1 ( 1)×2 2 a

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a

11，b ． 22

例4 解下列不等式 (1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2 (3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

3

(4)3x2 3x 1＞ x2

2

1

(5)x2 x 1＞x(x 1)

3

分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答 (1){x|x＜2或x＞4}

3

(2){x|1≤x≤

2(3)

(4)R (5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

例5 不等式1＋x＞

1

的解集为 1 x

[ ]

B．{x|x≥1} D．{x|x＞1

A．{x|x＞0} C．{x|x＞1}

或x＝0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

1

解 不等式化为1＋x－＞0，

1 x

x2x2

通分得＞0，即＞0，

1 xx 1

∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

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例6 与不等式

x 3

2 x

≥0同解的不等式是 A．(x－3)(2－x)≥0 B．0＜x－2≤1

C．

2 x

x 3

≥0 D．(x－3)(2－x)≤0

解法一 原不等式的同解不等式组为 (x 3)(2 x)≥0，

x 2≠0．故排除A、C、D，选B．

解法二 x 3

2 x

≥0化为x＝3或(x－3)(2－x)＞0即2＜x≤3两边同减去2得0＜x－2≤1．选B． 说明：注意“零”．

例7 不等式

ax

x 1

＜1的解为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为 A．a＜

12 B．a＞

12

C．a＝

1

2 D．a＝－

1

2

分析 可以先将不等式整理为

(a 1)x 1

x 1

＜0，转化为

[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}

可知a－1＜0，即a＜1，且－11

a 1＝2，∴a＝2

．

答 选C．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

例8 解不等式3x 7

x2 2x 3

≥2．

解 先将原不等式转化为

[ ]

[ ]

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3x 7

2≥0 2

x 2x 3

2x2 x 12x2 x 1即2≥0，所以2≤0．

x 2x 3x 2x 3

17

由于2x2＋x＋1＝2(x＋)2＋＞0，

48

∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，

即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．

说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2

≤0}，若B

A，求a的范围．

分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系，结合B A，利用数形结合，建立关于a的不等式．

解 易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

(1)若B＝ ，则显然B A，由Δ＜0得

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

(2)若B≠ ，则抛物线(*)的图像必须具有图1－16特征： 应有{x|x1≤x≤x2} {x|1≤x≤4}从而

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12－2a·1＋a＋2≥0 218 4－2a·4＋a＋2≥0 解得12≤a≤

7 2a

1≤≤4

2

综上所述得a的范围为－1＜a≤

18

． 7

说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x的不等式

(x－2)(ax－2)＞0．

分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a＝0时，原不等式化为 x－2＜0其解集为{x|x＜2}；

22

2° 当a＜0时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，其解

aa

集为

2

{x|＜x＜2}； a

22

3° 当0＜a＜1时，因2＜，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解

aa

集为

2

{x|x＜2或x＞；

a

4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；

22

5° 当a＞1时，由于2＞，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，其解

aa

集是

2

{x|x＜或x＞2}．

a

从而可以写出不等式的解集为： a＝0时，{x|x＜2｝；

2

a＜0时，{x|＜x＜2｝；

a

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2

0＜a＜1时，{x|x＜2或x＞；

a

a＝1时，{x|x≠2}；

2

a＞1时，{x|x＜或x＞2}．

a

说明：讨论时分类要合理，不添不漏．

例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．

分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：

解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：

b

－＝α＋β， a

c ＝α·β． a

b

＝－(α＋β)＜0， a即

c ＝α·β＞0． a

∵a＜0，∴b＞0，c＜0．

又

bab× ， acc

b11＝－(＋)cαβca11由＝α·β，∴＝·acαβ∴

对cx2＋bx＋a＜0化为x2＋

①

②

ba

x＋＞0， cc

由①②得

11ba11

，是x2＋x＋＝0两个根且＞＞0， αβccαβ

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ba11

∴x2＋x＋＞0即cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜．

ccαβ

解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程． 且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，

∴cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞

11

或x＜} ． αβ

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