用竞赛数学的方法解高考数列通项

用竞赛数学的方法解高考数列通项

数列通项的求解是国内外数学竞赛和高考命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。而在近几年高考中关于数列通项的试题中，我们可以发现其与数学竞赛有着千丝万缕的联系。因此在高中经历过数学竞赛培训的考生，大都掌握了一些高中课本所不曾接触过的知识，在应对这些难度很大的问题就会感到轻车熟路，应对自如。本文借助一些高考试题，说明数学竞赛知识和方法在高考数列通项求解中的渗透。 一、不动点的渗透

在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对于形如an 式求解通项，可利用特征方程x 造数列等比bn

A an 1 C

的递推

B an 1 D

A x C

，若此方程有两不相等的实根x1、x2，则可构

B x D

an x2

，若此方程有两相等的实根x1 x2，则可构造等差数列

an x1

bn

1

，从而解得an的表达式。

an x1

例1（全国Ⅱ卷）设数列 an 的前n项和为Sn，且方程x2 an x an 0有一根为

Sn 1(n N*)。求数列 an 的通项公式。

分析：易得a1 得Sn

1

，且(Sn 1)2 an (Sn 1) an 0，将an Sn Sn 1代入上式，2

111

，利用特征方程x 解得x 1，可构造bn ，则b1 2，

2 x2 Sn 1Sn 1

且bn 1

1Sn 1 1

2 Sn1

1 1 bn，所以数列 bn 是公差为 1的等差数

Sn 1Sn 1

n1

，因此数列 an 的通项公式为an 。 n 1n 1

列。故bn n 1，所以Sn 二、特征根的渗透

对于形如an 1 p an q an 1的二阶递推式求通项，可先利用特征方程若此方程有两不相等的实根x1、x2，则可构造两数列等比 an 1 x1 an 和x2 p x q，

an 1 x2 an ，分别解出通项an 1 x1 an与an 1 x2 an，再将an 1、an看成未知数，

从而解出an的表达式；若此方程有两相等的实根x1 x2，则先解出an 1 x1 an，再利用“待定系数法”可解出an的表达式。

例2（广东卷改编）已知数列 xn 满足x2

x11

，xn (xn 1 xn 2)（n 3），若

22

limxn 2，求x1的值。

n

分析：利用特征方程x

2

11

(x 1)，解得x 1或x ，因此可将22

xn

x11

(xn 1 xn 2)变形为xn xn 1 (xn 1 xn 2)，又由题意可知x2 x1 1 0，222

11n 11

x1 ()n。公比的等比数列，则xn 1 xn (x2 x1) ()

222

所以数列 xn 1 xn 是以同理将xn

1111

(xn 1 xn 2)变形为xn xn 1 xn 1 xn 2，则数列 xn 1 xn 是常2222

数列，则xn 1 得x1 3。

x2x1

xn x2 1 x1。两式相减可得xn 1223

1

1 ()n ，故limxn 2

2 n

三、待定系数法的渗透

对于形如an p an 1 q、an p an 1 qn、an p an 1 kn b（p、q、k、b是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中

都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。

例3（全国Ⅰ卷）在数列 an 中，Sn 通项an。

分析：由题意得a1 S1

412

an 2n 1 ， (n N*)。求首项a1与333412a1 22 ，解得a1 2。又333

an 1 Sn 1 Sn

a

an 1 x 2n 1

n

2n是公比为4的等比数列。所以an 2n 4 4n 1，得an 4n 2n。

441

an 1 an (2n 1 2n)，即an 1 4an 2n 1，设333

4an x 2n，利用待定系数法可得x 1，又a1 2 4 0，所以数列

四、取对数的渗透

在高中数学竞赛中，对于形如an p an 1的高次递推式求通项，常常采取两边取对数，从而达到构造新数列解出an的表达式。

例4（江西高考卷）已知数列 an 各项为正数，且满足a1 1，

r

an 1

1*an (4 an)(n N*)。（1）求证：an an 1 2(n N)； （2）求数列 an 2

的通项公式。

分析：（1）略；（2）由an 1 可知2 an 1

11

an (4 an)变形为2 an 1 (2 an)2，由（1）

22

12

0，2 an 0。令bn 2 an，则bn 1 bn，两边取对数得

2

，

变

形

为

lgbn 1 2 lgbn lg2lgbn 1 lg2 2 (lgbn lg2)

，又

lgbn lg2 lg2 0，所以数列 lgbn lg2 是以 lg2为首项，2为公比的等比数列，

故lgbn lg2 lg2 2n 1。得bn

1 2

2n 1 1

，因此有an

1 2

2n 1 1

。

五、迭代法的渗透

迭代法在竞赛中运用多，如本文“三、待定系数法”中的几种类型，均可采用迭代法。对形如an p an 1的高次递推式两边取对数后，若其新的数列首项为0时，即新的数列不为等比数列，这时往往采用迭代法求解出an的表达式。

例5（天津高考）已知 an 是由非负整数组成的数列，满足a1 0，a2 3，

r

an 1 an an 1 2 an 2 2 ,n 3,4,5, 。(1)求a3；

(2)证明an an 2 2,n 3,4,5, ；(3)求 an 的通项公式及其前n项和Sn。

分析：（1）a3 2；（2）将

an 1 an an 1 2 an 2 2

变形为

an 1a 2an1

，令bn （n 3），则b3 b4 1，且bn 1 ，两边取 n 2

bn 1an 1 2anan 2 2

对数可得lgbn 1 lgbn 1，①当n为奇数时，lgbn lgbn 2 ( 1)②lgbn lgbn 2 ( 1)

n 3

2

n 32

lgb3 0，

lgb4 0。所以对于任意的n 3均有bn 0，则必有

（3）略。 an an 2 2,n 3,4,5, 。六、取倒数的渗透

一般地，对于形如an

A an 1

的递推式求通项，虽然我们也可以利用不动点来

B an 1 D

33n an 1，且an （n 2），求数22 an 1 n 1

解决，但是若两边取倒数则显得更简洁，而且避免烦琐的数学归纳法。

例6（江西卷）已知数列 an 满足：a1 列 an 的通项公式。

分析：两边取倒数得

n1n 112 an 1 n 1

，化简可得1 (1 )，又

an3an 1an3n an 1

1

n 111n1

0，所以数列 1 为公比为的等比数列，则1 n，因此有

3a13an3 an

n 3n

an n。

3 1

七、平方或开方法的渗透

在数学竞赛中，经常会对已知的递推式平方或开方，进而得到新的递推关系，从而求解出原来数列的通项，而且可以避免了数学归纳法。

例7（全国高考卷）设无穷数列 an 的各项都是正数,Sn是它的前n项之和, 对于任意正整数n,an与2 的等差中项等于Sn与2的等比中项, 求该数列的通项公式。 分析：由题意得

an 2

Sn 2，则a1 2两边平方化简可得(an 2)2 8 Sn，则2

有(an 1 2)2 8 Sn 1，两式相减得(an 2)2 (an 1 2)2 8 (Sn Sn 1) 8 an，化简得(an 2)2 (an 1 2)2，故有an 2 an 1 2（负值舍去），则an an 1 4，所以数列 an 是公差为4的等差数列，因此有an 4n 2。

以上介绍了几种常见的求解数列通项问题中涉及的竞赛方法，其基本思路是根据题设提供的信息，构建新的等差或等比数列，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。而且在近几年高考中，数学竞赛方法不仅仅在数列问题中有所渗透，其他它数学知识中渗透也非常多，这是因为数学竞赛对学生的逻辑推理能力、抽象概括能力、数据处理能力的培养和提高有着积极的作用，在平时的教学中，教师必要对学有余力而且有兴趣的同学进行适当 …… 此处隐藏：1739字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……