三种Copula_VaR计算方法与传统VaR方法的比较

154 #数量经济技术经济研究 2007年第2期三种Copula VaR计算方法与

传统VaR方法的比较

柏满迎 孙禄杰

(北京航空航天大学经济管理学院)

摘要!金融风险测量VaR方法广泛应用于银行等金融机构,Copula技术以

其处理非正态联合分布函数所具有的良好性质逐渐成为国内外研究的热点。本文将Copula理论应用于VaR的计算方法,并与传统的VaR方法进行比较,通过美元和欧元组合的实证研究,得到基于Copula的VaR方法能够更加有效地测量风险的结论。

关键词 Copula VaR GARCH 汇率

中图分类号 F830 9 文献标识码 A

TheComparisonbetweenThreeCopula VaR

ApproachesandTraditionalVaRMethods

Abstract:ThefinancialriskmeasurementVaRapproachhasbeenwidelyap pliedinbankandtheotherfinancialinstitutions Meanwhile,Copulatechniquehasbecomethehotspotallovertheworldwithitsgoodcharacteristicsofdealingthenon-normaldistribution ThisarticleappliestheCopulatheoryinthecalculationofVaR,comparingthreeCopula VaRmethodsandthetraditionalVaRmeth ods ThroughtheempiricalresearchoftheportfoliowithU S dollarandEurodollar,wegetaconclusionthattheCopulabasedVaRapproachdoesbetterintheriskmanagement

Keywords:Copula;VaR;GARCH;ExchangeRate

一、VaR

近20年以来,随着信息科技的不断发展,经济全球化以及金融全球化的步伐不断加快,金融市场的波动性日趋激烈,对国家、企业的影响也越来越大,金融风险管理已经为越来越多的公司、部门、机构所重视,金融风险管理技术也成为当前研究的热点。近年来,国际上诸多金融机构或者大的跨国公司由于风险管理不善而导致破产或者巨额亏损的例子比比皆是,比如说英国巴林银行的倒闭、安然公司的破产、日本大和银行的巨额亏损、美国Or

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ange县的破产以及我国广东国际信托投资公司的倒闭、中航油(新加坡)的巨额亏损等等。针对这种情况,各大跨国公司以及各国监管当局都投入大量精力、人力与财力研究开发风险管理技术,因此风险的度量以及分析技术发展得相当迅速,而且可以较快地转换成经济效益。

VaR方法起源于20世纪80年代,在现代金融风险管理中具有核心的地位。经过20年的不断发展,VaR方法目前已经成为大多数投资银行、商业银行、投资机构以及政府监管当局所采用的主流风险管理方法,巴塞尔协议也将VaR方法列为银行业管理市场风险必须使用的重要工具。与此同时,我国对VaR方法的应用也在逐渐发展中,对其进行的研究也很多。

简单地说,VaR方法是利用分布函数,在一定持有期和置信水平c的条件下,计算金融资产的潜在损失。如果用z表示金融资产的价值,金融资产的风险价值记为VaR,令 =1-c,数学式可以表示成P(z%VaR)= 。

由于金融资产的价值可以表示成金融资产收益的线性函数形式z=z0(1+r),所以从简化表达考虑,可以只以金融资产收益为变量,描述金融资产收益的VaR值,即P(r%VaR)= ,本文考虑的是金融资产收益的VaR。

在VaR的不断发展变化过程中,许多公司都开发了计算VaR的系统,比较知名的是JPMorgan公司开发的RiskMetrics系统&&&方差 协方差分析方法。我们比较常用的还有delta模型以及delta gamma模型,这两类模型将资产组合的价值映射为常用的市场因子,如股价、利率、汇率以及商品价格等,从市场因子角度计算VaR值能够简化计算过程、节省计算时间。随着信息技术的发展,蒙特卡洛模拟的方法也逐步被广泛应用于VaR的计算。目前有关VaR的计算主要有三种方法:历史模拟法、分析方法和蒙特卡洛模拟方法。

二、Copula VaR

Copula函数在构造联合分布函数、相关性分析以及处理 尖峰厚尾(分布等方面具有良好的性质,因而越来越受到国内外学者的青睐。Copula函数是将多个随机变量x1,x2,),xn的联合分布函数H(x1,x2,),xn)用它们各自的边沿分布F1(x1),F2(x2),),Fn(xn)表示出来的函数,即任意给定各个变量的边沿分布函数,都存在一个函数C( )满足H(x1,x2,),xn)=C(F1(x1),F2(x2),),Fn(xn)),这里的C(u1,u2,),un)就是Copula函数。

应用Copula建模需要构造边沿分布模型和选择相应的Copula函数。边沿分布模型的构造可以应用传统的单变量时间序列模型(如GARCH模型)进行构造,也可以直接采用t分布函数或者经验分布函数构造;Copula函数包含正态Copula、t Copula、阿基米德Copula及混合Copula等,可以根据需要进行选择。Copula模型构建以后,两个或多个变量之间的分布关系便可以通过Copula模型完全反映出来,从而可以将其应用到相关性分析、VaR计算、投资组合优化设计及信用风险管理等相关领域,以得到比传统的基于正态性假设更准确的结果。

金融变量收益实际上并不满足正态分布,更多的是表现出尖峰厚尾性,也就是说,金融变量的实际损失程度要比我们用正态分布计算出来的大,所以基于正态假设条件下求出的

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缺憾。传统的VaR计算方法中,变量之间的相关结构是通过线性相关系数表示的,而线性相关系数只有在变量服从椭圆分布的时候才能准确地描述变量之间的相关关系,现实中各变量并不满足椭圆分布。由于VaR方法正态性假设存在的不足,而Copula又可以很好地解决非正态性问题,因而Copula方法必然会被应用到VaR的计算中。从2002年开始,国际上开始有学者将Copula理论应用于VaR方法中。就目前情况而言,Copula在VaR方法中的应用研究仍然没有形成一个完善的体系,本文旨在将当前国际上存在的Copula应用于VaR计算的方法进行归纳总结,并与传统的VaR方法进行比较分析。

1 Copula VaR的解析方法

假设金融资产组合有两种资产X和Y,其收益为x、y,组合中它们所占的比例为 、1- ,我们用z表示金融资产的总收益,两种金融资产收益的Copula函数为C(u,v),则:

P(z%VaR)=P( x+(1- )y%VaR)

=Px%VaR-y,y=y++

= -+

++-+11- VaR-yf(x,y)dxdy

= -+-+11- VaR-yc(u,v)f1(x)dxf2(y)dy

通过上式,只要得到各资产收益的边沿密度函数,并且得到它们的连接函数Copula,在给定一定置信水平 的情况下,就可以求出资产组合的VaR值。这种解析方法同样可以推广到含有多个资产组合的VaR值求解中。

2 用Copula变换相关系数的VaR的分析方法

在传统的VaR计算的分析方法中,JP Morgan的RiskMetrics方法是最常用的方法,

2这种方法基于正态性假设,关键部分在于求解组合的方差 p,有了组合的方差就可以应用正

态分布的性质求解VaR,即VaR=E(rp)-z p,其中z 为给定置信度 所对应的正态分布函数的分位数。

而组合的方差又决定于各变量之间的相关系数,这一点可以由组合方差的数学表达式 =2p

i=1, +2,! 2iijii<jnnj看出,RiskMetrics方法采用的!ij是基于正态性假设的线性相关系

数。我们知道,线性相关系数不能准确地描述非正态分布的相关性,因此,从这一角度出发,可以将线性相关系数替换为性质更好的秩相关系数(如Spearman的!或者Kendall的 )或者尾部相关系数(我们更关心金融资产的损失,因此一般取左尾相关系数#L),这两大类相关系数都可以用Copula函数表示出来,具体表达式如下:

ij=4 11

C(u, 00v)dC(u,v)-1

#L=limu 0u

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