03.(广东卷)高考数学试题及答案(2011年)

03.(广东卷)高考数学试题及答案(2011年)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学(文科)

参考公式：锥体体积公式13

V Sh =

，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

线形回归方程???y

bx a =+中系数计算公式1

2

1

()()

???,,()

n

i

i i n

i

i x

x y y b a

y bx x

x ==--==--∑∑ 其中,x y 表示样本均值。

n 是正整数，则1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足iz = 1，其中i 为虚数单位，则z = A

A ．- i

B ．i

C ．- 1

D ．1

2．已知集合{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为C

A ．4

B .3

C .2

D . 1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 B A ．

14

B .

12

C .1

D . 2

4．函数1()lg(1)1f x x x

=++-的定义域是

C

A ．(,1)-∞-

B .(1,)+∞

C .(1,1)(1,)-+∞

D . (,)-∞+∞ 5．不等式2210x x -->的解积是D

A ．

1

(,1)2

- B . (1,)+∞ C . (,1)(2,)-∞+∞ D . 1

(,)(1,)2

-∞-+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式组02x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定,若(,)M x y 为D 上的动

点,点A

的坐标为z O M O A =

则的最大值为B

A ．3

B .4 C

. D

.

7．正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个

正五棱柱的对角线条数共有D

A ．20

B .15

C .12

D . 10 8．设圆22(3)10C x y y C +-==与圆外切，与直线相切，则圆的圆心轨迹为 A

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A ．抛物线

B .双曲线

C .椭圆

D . 圆

9．如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角

形和菱形，则该几何体体积为C

A

． B .4 C

. D . 2

10．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()()():f g x f g x ? 和对任

意,()()(());()()()(),x R f g x f g x f g x f x g x ∈=?= 则下列等式恒成立的是B

A ．(())()(()())()f g h x f h g h x ?=??

B ．(())()(()())()f g h x f h g h x ?=?

C ．(())()(()())()f g h x f h g h x =

D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ??=???

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11—13题）

11．已知{}n a 是递增等比数列，2432,4,a a a q =-==则此数列的公比 2 .

12．设函数3()cos 1.()11,()f x x x f a f a =+=-=若则 -9 .

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1

号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为 0.5 ；用线形回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时

篮球的投篮命中率为 0.53 ．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ

θπθ?=?≤≤?=??

和

俯视图侧视图正视图D C

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25()4x t t R y t ?=?

∈?

?=?

，它们的交点坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形A B C D 中，//,AB CD 4,2,,3//AB CD E F AD BC EF EF AB ===分别为，上的点，且，， 则梯形ABFE 与梯形E F C D 的面积比为

5

7 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数1

()2sin(),36

f x x x R

π

=-

∈

（1） 求(0)f 的值； （2） 设106,[0,],(3),(32),sin()2

2

13

5

f f ππ

αβαβπαβ∈+

=

+=

+求的值.

(1) (0)f =-1 (2) 由.10(3)2sin 2

13f π

αα+

==

得.5sin 13α=；

由.6(32)2cos 5

f βπβ+==

得.3cos 5β=

sin()αβ+=

65

63

17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用n x 表示编号为(1,2,...,6)n n =的同学所

（1） 求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；

（2） 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率. (1) 成绩6x =90, 标准差s =7

(2)P=

5

2或者0.4

18．（本小题满分13分）

下图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一般

沿切面向右水平平移得到的。 ,,,,,,A A B B CD

C D DE D E ''''''分别为的中点，1122,,,O O O O ''分别为

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,,CD C D '' ,DE D E ''的中点。

(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；

(2)设G 为A A '的中点，延长1112A O H O H A O BO H B G ''''''''''=⊥到，使得，证明：平面。 19．（本小题满分14分）

设0,a >讨论函数2()(1)2(1)f x Inx a a x a x =+---的单调性。

20．（本小题满分14分）

设0,b >数列{}111,(2).1

n n n n nba a a b a n a n --==≥+-满足

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数1

,2 1.n n n a b +≤+

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x x =-交轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段O P 的垂直平

分线上的一点，且满足.M P O A O P ∠=∠

（1） 当点P 在l 上与动时，求点M 的轨迹E 的方程；

（2） 已知(1,1),T -设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标；

（3） 过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k

的取值范围。

C '

C