二项式定理及其系数的性质

二项式定理 及其系数的性质

一、教学过程： Ⅰ、课前准备 (1)填写公式：(a+b)n的二 项展开式 是 ___________________________ 通项公式是 _______________ ; (a-b)n的二项展开式是 _______________________ (1+i)10=____________________

2、在(2- x )9的展开式中，是它 的第______ 项 ，这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________ 3、设s= (x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则 s 等于( C ) A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4

x 4、在 展开式 中的常数项是__________ 5、2c 1 2 2 c n2 …+2 n 1 cnn 1 2 n cnn n =__________________ 10=_______(保留 6、(1.01) 到小数点后三位) 13

x

10

Ⅱ、例题分析： 例1、 (1)在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______ (2)已知 的 展开式中x3的系数为，则常数 a的值是_______ a x x 2 9

说明:这些问题属基础题,运用通 项公式有时也有变化的,但其实 质还是通项公式,应熟练掌握. 方法:在解有关二项式的问题时, 如果已知a,b,n,r,Tr+1这五个量中 的几个或它们的某些关系,求另 外几个,一般是利用通项公式把 问题转化为解方程或解不等式.

解(1) c (2)Tr+1= a c x r 9 9 r

5 10

252r r 2

依题意 ,r=8 含的项为 4 8 第9项,其系数为 1 8 1 c9 a 9 4 2 9a 9 得 a=4. 即 16 4

3r x 1 r 9 r 2 9 1 c9 a x 2 2

3r 9 3 2

练习： (1)在(1-x3)(1+x)10的展开式 5的系数是( 中x ) A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 9中含x4y2z3的项 (2)(x+y+z) 的系数是_______________

例2、已知 的展开式中第五项是常数， (1)求n; (2)展开式中共有多少有理 项？

2 x x

n

说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念. 方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.

解: (1)T5=

c

4 n

x n r

n 4

2 2 cn 24 x x

4

n 1 2 2

是常数,所以 (2)Tr+1= cr n

n 1 2 则n=12. 0 2

x

2 r 2r cn x x

r

n 3 r 2

r 2 r c12x

n 3 r 2

1 2 3r ∴ Z且 2

r=0,1, …,12 …,12

即

3r 6 Z 且r=0,1, 2

∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7项

练习: 4 5 4的 (3) x 1 x 5 展开式中x 系数是_______ 2+3x+2) 5展开式中x的 (4)(x 系数是_______

例3、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________

说明:二项展开式是一个恒等

式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.

略解: 令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 其它类似可得.

引申: (1) a2+a3+… +a7=_________ (2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________