三角函数的最值问题精选

三角函数的最值问题精选

1.[2014· 新课标全国卷Ⅱ14] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为________.

[解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x, 故其最大值为 1.

πx 2.[2014· 新课标全国卷Ⅱ12] 设函数 f(x)= 3sin ,若存在 f(x) m 2 2 的极值点 x0 满足 x2 + [ f ( x )] < m ,则 m 的取值范围是( ) 0 0 A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

πx π [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ, m 2 1 即 x=m k+2 ,k∈Z,且极值为± 3, 2

1 问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m k0+2 +3<m2. 2 1 1 1 2 因为 k+ 的最小值为 ，所以只要 m +3<m2 成立即可， 4 4 2 即 m2>4,解得 m>2 或 m<-2, 故 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选 C.

2

3.[2013· 大纲广西理卷 12] 已知函数 f ( x)=cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是( π A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 C.f(x)的最大值为 3 2 D.f(x)既是奇函数，又是周期函数

)

[解析] 因为对任意 x,f(π-x)+f(π+x)=cos xsin 2x-cos xsin 2x=0, 故函数 f(x)图像关于点(π,0)中心对称； π 因为对任意 x 恒有 f(π-x)=cos xsin 2x=f(x), 故函数 f(x)图像关于直线 x= 对称； 2 f(-x)=-f(x),f(x+2π)=f(x),故 f(x)既是奇函数也是周期函数； 对选项 C 中，f(x)=2cos2xsin x=2(1-sin2x)sin x,令 t=sin x∈[-1,1], 设 y=(1-t2)t=-t3+t,y′=-3t2+1,可得函数 y 的极大值点为 t= 所以 y 在[-1,1]上的极大值为- 1 3 1 + 3 3 1 , 3

1 2 3 = ,函数的端点值为 0, 3 9

2 故函数 y 在区间[-1,1]的最大值为 所以选项 C 中的结论错误，故选 C.

4 3 ,函数 f(x)的最大值为 ， 9 9

4. (2013 年上海市春季高考 6) 函数 y 4sin x 3cos x 的最大值是_______________.

[解析] 由 y 4sin x 3cos x 5sin( x ) , 易知其最大值是 5.

5.[2013· 新课标Ⅰ卷理 15]设当 x 时,函数

f ( x) sin x 2cos x 取得最大值,则 cos ______.[解析]由 f(x)=sin x-2cos x 得 f′(x)=cos x+2sin x, 令 f′(x)=0,即 cos x=-2sin x, 由 sin2x+cos2x=1 得： 5 sin x= 5 2 5 cos x=- 5 5 sin x=- 5 或 2 5 cos x= 5

,

因为 f(x)的最大值必然在 f′(x)=0 时取得， ∴当 cos x=- 2 5 时，f(x)max= 5. 5

5.[2013· 新课标Ⅰ卷理 15]设当 x 时,函数

f ( x) sin x 2cos x 取得最大值,则 cos ______.【解析】∵ f ( x) = sin x 2cos x = 5(

5 2 5 sin x

cos x) 5 5

令 cos =

5 2 5 , sin ,则 5 5

f ( x) = 5(sin x cos sin cos x) = 5 sin( x ) ,

当 x = 2k , k z ,即 x = 2k , k z 时， f ( x) 取最大值， 2 22 5 此时 = 2k , k z ,∴ cos = cos(2k ) = sin = . 2 2 5

6.[2013· 上海理卷 21] (6 分+8 分)已知函数 f ( x) 2sin( x) ,其中常数 0 ;

2 ] 上单调递增，求 的取值范围； (1)若 y f ( x) 在 [ , 4 3 (2)令 2 ,将函数 y f ( x) 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位， 6得到函数 y g ( x) 的图像，区间 [a, b] ( a, b R 且 a b )满足： y g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 [a, b] 中，求 b a 的最小值.

【解答】(1)因为 0 ,根据题意有

3 4 2 0 ; 4 2 2 3(2) f ( x) 2sin(2 x) , g ( x) 2sin(2( x

)) 1 2sin(2 x ) 1 . 6 3 1 g ( x) 0 sin(2 x ) x k 3 2 3 7 或 x k , k Z , 12 2 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 ， 3 3故若 y g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点， 则 b a 的最小值为14

2 43 15 . 3 3 3

7.[2013· 上海文卷 21](6 分+8 分)已知函数 f ( x) 2sin( x) ,其中常数 0 .

F ( x ) f ( x ) f ( x ) 的奇偶性并说明理由； (1)令 1 ,判断函数 2 (2)令 2 ,将函数 y f ( x) 的图像向左平移 个单位，再往上平移 1 个单位， 6得到函数 y g ( x) 的图像.对任意的 a R ,求 y g ( x) 在区间 [a, a 10 ] 上零点个数的所有可能值.

【解析】 (1) F ( x) 2sin x 2sin( x

) 2sin x 2 cos x 2 2 sin( x ) 2 4

F ( x) 是非奇函数非偶函数。∵ F (

) 0, F ( ) 2 2 ,∴ F ( ) F ( ), F ( ) F ( ) 4 4 4 4 4 4

∴函数 F ( x) f ( x) f ( x

2

) 是既不是奇函数也不是偶函数;

(2) 2 时， f ( x) 2sin 2 x , g ( x) 2sin 2( x

) 1 2sin(2 x ) 1 , 6 3 1 其最小正周期 T .由 2sin(2 x ) 1 0 ,得 sin(2 x ) , 3 3 2 k k ( 1) k , k Z . ∴ 2 x k ( 1) , k Z ,即 x 3 6 2 12 6区间 a, a 10 的长度为 10 个周期， 若零点不在区间的端点，则每个周期有 2 个零点； 若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点， 其它区间仍是 2 个零点； 故当 a

k ( 1) k , k Z 时，21 个或 20 个。 2 12 6

8.【2012 高考湖南理 6】函数 f ( x) sin x cos( x ) 的值域为( 6A. [ -2 ,2] B. [ 3, 3] C.[-1,1 ] D. [

)

3 3 , ] 2 2

3 3 cos x 3 sin( x ) , 【解析】∵ f ( x) sin x cos( x ) sin x 6 6 2 2∴ y [ 3, 3] ,故选 B.

9.【2012 高考全国卷理 14】当函数 y sin x 3 cos x(0 x 2 ) 取得最大值时， x

【解析】 函数为 y sin x

3 cos x 2 sin( x

3

),

5 x 当 0 x 2 时， , 3 3 3由三角函数图象可知，当 x

2 5 5 即x 时取得最大值，所以 x . 6 6

3

,

10. (1990 全国理卷 19) 函数 y sin x cos x sin x cos x 的最大值是______.

解析：设 sin x cos x t ,则 t sin x cos x 2 sin( x ) , ∴ 2 t 2 . 4 t 2 1 sin x cos x ,函数 y sin x cos x sin x cos x 2 t 2 1 (t 1)2 1 t 1 ,∴ t 2 时，函数最大值是 2 . 可化为 y 2 2 2

11.(1999 全国文理 4)函数 f x M sin x 0 在区间 a, b 上是增函数， 且 f a M , f b M ,则函数 g x M cos x 在 a, b 上 ( A.是增函数 C.可以取得最大值 M B. 是减函数 D.可以取得最小值 M )

解法一：由已知得 M>0,- +2kπ ≤ω x+ 2

≤ 2

+2kπ (k∈Z) ,

故有 g(x)在[a,b]上不是增函数，也不是 …… 此处隐藏：2193字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……