北师版七年级数学下册专训2 构造全等三角形的四种常用方法

专训2构造全等三角形的四种常用方法

名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的已知条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．

翻折法

1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.

(第1题)

旋转法

2．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

(第2题)

倍长中线法

3．如图，在△ABC中，D为BC的中点．

(1)试说明：AB＋AC>2AD；

(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

(第3题)

截长补短法

4．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．试说明：BC ＝AB＋CD.

(第4题)

答案

1．解：如图，延长AD 交BC 于点F(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)．

(第1题)

因为BE 平分∠ABC ，

所以∠ABE ＝∠CBE.

因为BD ⊥AD ，

所以∠ADB ＝∠FDB ＝90°.

在△ABD 和△FBD 中，

?????∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ，

所以△ABD ≌△FBD(ASA)．

所以∠2＝∠DFB.

又因为∠DFB ＝180°－∠AFC ，∠1＋∠C ＝180°－∠AFC ，

所以∠DFB ＝∠1＋∠C.

所以∠2＝∠1＋∠C.

2．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.

因为∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，

所以∠D ＝∠ABH ＝90°.

在△ABH 和△ADF 中，?????AB ＝AD ，∠ABH ＝∠ADF ＝90°

，BH ＝DF ，

所以△ABH ≌△ADF.

所以AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.

所以∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF.

所以∠HAF ＝∠BAD ＝90°.

因为BE ＋DF ＝EF ，

所以BE ＋BH ＝EF ，即EH ＝EF.

在△AEH 和△AEF 中，?????AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，

所以△AEH ≌△AEF.

所以∠EAH ＝∠EAF.

所以∠EAF ＝12

∠HAF ＝45°. 点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.

(第2题)

3．解：(1)如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.

因为D 为BC 的中点，

所以CD ＝BD.

又因为AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，

所以△ADC ≌△EDB.所以AC ＝EB.

因为AB ＋BE>AE ，所以AB ＋AC>2AD.

(2)因为AB －BE<AE<AB ＋BE ，

所以AB －AC<2AD<AB ＋AC.

因为AB ＝5，AC ＝3，

所以2<2AD<8.

所以1<AD<4.

点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．

(第3题)

4．解：如图，在BC 上取一点F ，使BF ＝BA.

连接EF.因为CE ，BE 分别平分∠BCD 和∠CBA ，

(第4题)

所以∠3＝∠4，∠1＝∠2.

在△ABE 和△FBE 中，

?????BA ＝BF ，∠1＝∠2，BE ＝BE ，

所以△ABE ≌△FBE(SAS)．

所以∠A ＝∠5.

因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠D ＝180°.

又因为∠5＋∠6＝180°，

所以∠6＝∠D.

在△EFC 和△EDC 中，?????∠6＝∠D ，∠3＝∠4，EC ＝EC ，

所以△EFC ≌△EDC(AAS)．

所以FC ＝DC.所以BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.

点拨：说明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后说明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再说明延长后的线段等于长线段．