海伦—秦九韶公式》在中考中的应用

海伦-秦九韶公式在中考中的应用

大悟县东新中学 周双行

古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶在利用三角形的三边求面积时，都得到：如果一个三角形的三边分别为a、b、c，设P＝，则三角形的面积为S＝，我们称为"海伦--秦九韶公式"。

义务教育课程标准实验教科书在九年级数学上册第十一章的阅读与思考中作为选学内容已经介绍，学生在运用过程中并不难，尤其在遇到三角形三边求面积等相应问题时的恰当应用，可以有效地化难为易，化繁为简，下面就一道中考题的解法比较中，能很容易得到体会。 （浙江省嘉兴市）如图一，已知A、B是线段MN上两点，MN＝4，MA＝1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C,构成三角形ABC，设AB＝X

⑴求X的取值范围

⑵若△ABC为直角三角形，求X的值。

⑶探究：△ABC的最大面积？

标准答案解题过程如下：

解：（１）在△ABC中，AC＝１，AB＝X，BC＝３－X，得

１＋X>３－X

１＋３－X>X 解得１<X<２

（２）AC为斜边，则１＝X２＋（３－X）２，即X２－３X＋４＝０，此时方程无解。 AB为斜边，则X２＝（３－X）２＋１，解得：X＝，满足１<X<２。

BC为斜边，则（３－X）２＝１＋X２ ，解得X＝，满足１<X<２

综上，X＝或X＝

（３）在△ABC中，作CD⊥AB，设CD＝ｈ，△ABC的面积为S，则S＝xｈ，当点D在线段AB上，如图二，则

＋＝X

∴（３－X）２－ｈ２＝X２－２X＋１－ｈ２

即：X＝３Ｘ－４

∴X２（１－ｈ２）＝９X２－２４X＋１６

X２ｈ２＝－８X２＋２４X－１６

S２＝X２ｈ２

＝－２X２＋６X－４

＝－２（X－）２＋ （≦X≦２）

当X＝时（满足≦X≦２）S２取最大值，从而S取最大值。

如图三，点D在MA上，则－＝X

同理得S２＝X２ｈ２

＝－２X２＋６X－４＝－２（X－）２＋ （１<X≦）

此时 S<

综上，△ABC的最大面积为

第一问利用三角形的三边关系"两边之和大于第三边""两边之差小于第三边"求得X的取值范围。第二问和第三问利用勾股定理进行了分类讨论，有利于学生掌握数学建模的方法，注意运用分类讨论思想进行探究，但第三问在勾股定理的运用中，学生普遍出现计算难度过大，难以突破而卡壳。

有了第一问的结果１<X<２，利用海伦--秦九韶公式，第三问变得简单得多， P＝＝＝２ AC＝MA＝１ AB＝X

BC＝BN＝MN－AB－MA＝４－X－１＝３－X

S＝（１<X<２）

＝

＝

＝

当X＝时，S最大＝

都是利用二次函数的性质求最大值，运用海伦--秦九韶公式简化了思路，降低了难度，起到了化难为易，化繁为简的作用，学生反过来进一步对公式加深了认识。

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