高数同济六版课件D8_3曲面方程

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第三 节曲及其方面一、曲面方程的程概二念、旋曲面转三、柱面 四、次二面曲第八

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一、面方程的曲念概引: 例求到定点A(两12,3,) B和2(,-1,4)距等的离点 轨迹方程的. :设轨解迹的上点为 动M( x y,, z) ,则 AM B M, 即( x1) ( y 2 )( z 3) 2 2 2 2 2 2

( x )2 ( y 1 ) ( z )4化得 简2 x 6 y 2 z 7 0 明说 动点:轨迹线为段 B A垂的平分面直 .显在然此平上的面的坐点标满足此方程,

都在此不面上平的点坐标不的满足此方.目程录 上 下页 返回页 结束

定

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1义.如果 曲 S面 与方 F( x, 程y,z ) = 0 有下述 系关:1) (曲 S 面上的任点意坐的都标足满此程 方()2不 曲在 S 上的点的面标坐不满此方程足则 F( x ,y ,z) = 0 做叫曲面S 的 程方曲, S面叫做 方程 F (x,y ,z ) =0 的图.形F ( x ,y, z ) 0z

S个基两问题 本:()1已 一知曲作面点的为几何轨时,迹 求曲面方.程 2) (知方已时 , 程究研所它表的示几形状 何( 必要需时作 图)目.录上页 页下x

O

y

返

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例1. 求点动到点定方.

距程离为R 的迹轨依题

意2 2解 设轨迹:动点上即2

( 为 xx 0) ( y y0 ) ( z 0z )

R所求故方为程( x x ) 0 ( y 0 )y ( z z )0 R22 2 2

zM0

特,别M0在当点原时,球面方为程x y z R 2 22 2M

O表上(下)示球 面x.目

录y

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例2 研究方程.曲面. 解:的配方 可见此方得表示程个一球

表面怎样示

心球 M为 0 (, 1, 2 0 ) 半径为 ,5说:明下形如的三元二式方次程( A ≠ )0

都可过通配方研它的究形. 其图形可图能一个球是 ,面 或 点, 或虚迹.轨目录

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、旋二转曲定面义2. 条一面平曲线 绕其面上平条一直定线旋转

一周所 形的成曲面叫旋转做曲. 面该直定线称为旋转 . 例轴 如

:录目

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建yOz立上曲面C线 z绕轴旋 所成转面的方程: 给曲定y O 面z曲线上C :f ( y, z) 0若点M1 (,0 y1, z 1) C 则有, ( yf , 1z 1) 0

zCM1 (0 y1, z,1 )

当绕z 轴旋 时, 该点转到 转M( ,xy ,z ) , 则有z z1, x y y 12 2 (M ,x y, z )

O

y故旋曲转方面程为f( x y , z ) 0 22 x

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考：思曲当线C 绕 轴旋转时y方，程何？

如zO

C:f ( y, z ) 0 y

x

(fy , x z) 0 22

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例3 试.立建顶在点点原,旋转轴 为z , 半顶轴为角的圆 面锥方程.解 : y在z面上直OL 的方程线为

Lz绕z 轴旋时,转圆面锥的程方为

O

M 0(,y, z) y

两边平z方 a ( x )y2 2 22

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例.4求 标坐 xO面 z上的曲线双轴

和 z轴 旋一转所生周的旋转成面曲程.方分别绕 x

解z 绕:x 轴转旋 所曲成方程面为z

x O

xy a22

y z 2c2

2 x1 yOz

绕z 轴旋转 所曲面成方程为x ya 222

z c 22 1

xO

y

这两种面都叫曲做转双曲旋.目面 录上 下页 返页回 结束

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三、柱

面例引. 分析方 表程怎示的样曲面

.

zM解在: xyO 面上,示圆C表 C,

O圆C在上任取一点 M 1( x ,y,0) ,此过点 x作M1

y平行z 的直线 l轴, 对任 意 z, 点M ( x , y , z的)标也满足方坐程x 2 y2 R 2

l沿圆C平行周于 z轴的一直线切形成的所面称曲为圆 柱面.其 上所有的坐标点都满足方程,此故在 空 间2 2 2 x y R表示 柱圆面目录 上页 页 下回返结 束定义3

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. 平行直定线沿并曲定线C 移动 直的 线 l成形的轨叫迹做面. C柱 叫做线准 l, 做母叫线. 表z示物柱面抛,母线平行 于 z轴 准;为线xO 面上的抛y线. 物x a 2 2

C

l

Oy b

22 x

表1示线母行于平

zyO

轴z的圆椭柱.面

z x y 表示0线平母于行z 轴 的面平 (.且z 在平轴上)面

Oy

yx

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结般地,一在维三间空方程 (F x y ) , 表0柱示,面

zO母线 行于 z 平; 准轴 x线y O上面的线曲 1l.程方G (y , )z 0 表 柱示面

y

x,

l1

z

l2O母 线平于行 x; 准轴 yOz 面线的曲线上l2 .方程H ( z ,)x 0表示柱面, 3lO

yx

z母线平行于 y 轴;

线 准xzO面上 曲的线 3l

.xy

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四、次曲二三元二次面方程xA B y Cz Dxy yEx Fz 2x2 2 x G H y I zJ 0 (二项系次数全不为 ) 0的图统称形为次二面.曲 其基本型有类 椭:面、抛球物面双、曲面、锥面适当 选直角取坐系标可得它们的标方准程下,面仅 几就种常见准标型的特进行点绍介 . 研究次二面特性的曲本方基: 截痕法法目录上页 下页 返回 结束

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1. 球面椭 a2 x

2y b

22

zc

2 2

1(a b,,c 为 数正)

(1) 围：范x a y, b ,z c

O(2)与标坐面交的：线椭圆 x2y2 2 12 , ab z 0 y 22z 2 1 2 ,b c x0 x 2z 2 2 1 2 a c y0

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x

2a2

by

2 2

c

2z2

1

( ,ab , 为正数)

c3( )痕:截 与z z 1( 1z c )交线为的圆椭：xac 2 2

22

c ( 1z) 2

cb

y 222 2

zc( 1 )z

21

z1z同 y样 y1( y 1 b ) 及也 椭为圆.的截痕

() 当 4=b a时旋转椭球为面 当;ab==c 时球面.为目 上录页 下页返回 结 束

2.