数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全,丁玉美)第一章

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第 1 章

时域离散信号和时域离散系统

第1章 时域离散信号和时域离散系统1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答

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1.1 学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处 理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号 和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同， 尤其是处理 方法上有本质的区别。 模拟系统用许多模拟器件实现， 数 字系统则通过运算方法实现。 如果读者对本章关于时域离散 信号与系统的若干基本概念不清楚， 则学到数字滤波器时， 会感到“数字信号处理”这门课不好掌握， 总觉得学习的不 踏实。 因此学好本章是极其重要的。

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1.1.2

重要公式 重要公式

(1)

y ( n) =

m = ∞

∑ x ( m) h( n m) = x ( n) * h( n)

∞

这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在-∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位 脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。

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(2)

x(n)=x(n)*δ(n) x(n-n0)=x(n)*δ(n-n0)

该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。 (3)

1 ∞ X n ( j ) = X a ( j jk s ) T k = ∞

∑

这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。

sin[ π(t nT ) / T ] xa (t ) = xa (nt ) π(t nT ) / T n = ∞

∑

∞

这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。

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1.2 解线性卷积的方法 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有 三种方法， 即图解法(列表法)、 解析法和在计算机上用 MATLAB

语言求解。 它们各有特点。 图解法(列表法)适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得 到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析 法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于 画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的 线性卷积， 实验中常用。

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解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n), 求y(n)=x(n)*h(n)。 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法(列表法) 或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法(列表法), 用公 式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}

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下面用解析法求解， 写出卷积公式为y ( n) =

m = ∞

∑ x ( m ) h ( n m) = ∑ R ( m ) R ( n m)4 4 m = ∞

∞

∞

在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3, R4(n-m)的 非零区间为0≤n-m≤3, 或写成n-3≤m≤n, 这样y(n)的非 零区间要求m同时满足下面两个不等式： 0≤m≤3 m-3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：

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max{0, n-3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0, 上限应该是n; 当4≤n≤6时， 下限应该是n-3, 上限应该是3; 当n<0或n>6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0; 这样将n分成三种情况 计算： (1) n<0或n>6时， y(n)=0 (2) 0≤n≤3时，

y ( n) =

m =0

∑1 = n + 1

n

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(3) 4≤n≤6时，y (n) =

m = n 3

∑1 = 7 n

n

将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=

n + 1 y (n) = 7 n 0

0≤n≤3 4≤n≤6 其它

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在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻 烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n<0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3, 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a), 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6, 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n-3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n, 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。

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图1.2.

1

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1.3 例

题

[例1.3.1] 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 例 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 证明： ∞y ( n) = h( n) * x ( n) =m = ∞

∑ h ( m ) x ( n m)

因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n+kN-m)=x(n-m) 将上式代入(1)式， 得到y (n) = h(n) * x(n + kN ) =m = ∞

∑ h(m) x(n + kN m) = y(n + kT )

∞

上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。

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[例1.3.2] 例

线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为 h(n)=a-nu(-n)

计算该系统的单位阶跃响应。 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则s ( n ) = h( n ) * x ( n ) =

m = ∞

∑ h(m)u(n m)

∞

=

m = ∞

∑

∞

a m u (m)u (n m)

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