中考专题复习3转化思想

中考专题复习之三

转化思想余金耀

2014-5-19

余金耀

浙江省衢州华茂外国语学校 余金耀2014-5-19 余金耀 2

一. 数学思想方法的三个层次:数学一般方法 配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等

数学思想 和方法

逻辑学中的方 法(或思维方法)

分析法、综合法、 归纳法、反证法等 函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、转化思想等

数学思想方法

2014-5-19

余金耀

转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数 学思想，在研究数学问题时，我们通常是将 未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题 转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具 体的问题，将实际问题转化为数学问题，我 们也常常在不同的数学问题之间互相转化， 可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无 处不在的。2014-5-19 余金耀 4

转化思想 求解二元一次方程组时，把多元问题转化为 一元问题；解一元二次方程时，采用因式分 解法、配方法，将二次问题转化(降次)为 一次问题；解分式方程时，通过去分母，把 分式方程转化为整式方程。 几何问题中，把复杂图形分解为几个基本图 形，或构造基本图形；把不规则图形面积转 化为规则图形面积；把多边形问题转化为三 角形和四边形问题，等等。2014-5-19 余金耀 5

“牧童放牛”问题是数学问题中的经典题 目，主要转化成“两点之间线段最短问 题”,在最近几年的中招试题及竞赛中， 该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现 在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失 彼。因此，我们有必要作一下总结，找出 其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。

2014-5-19

余金耀

原题：如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地， 问怎样选择饮水的地点，才能使牛群 所走的路程最短？

A

B

2014-5-19

余金耀

解：先求出B关于河岸的对称点B’,连接AB,,

设它与河岸线交于C,则C点就是所选的满足题意的位置。

即牧童赶着牛群从A地出发，到C点饮水，再到B地，这条路线最短。

A

C B

B’8

2014-5-19

余金耀

下面证明为何C点最好若饮水点不在C点，不妨设在D点， 则牧童所走路线长为AD+BD,下面只要证明AD+BD>AC+BC 即可。连接B’D,由于B、B’关于河岸线对称， 因此有BC= B’C,BD=B’D,

所以AD+BD= AD+ B’D,AC+BC= AC+ B’C=A’B’在△AD B’中，有AD+ B’D> AB,,从而AD+BD> AC+BC 即C点就是所选的满足题意的点。

A

D2014-5-19

C B

B’9

余金耀

延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分 支线路，分支点为 M ,同时向新落成的 A 、 B

两个居民 小区送电。已知两个居民小区 A、 B分别到主干线的距 离 AA1=2 千米， BB1=1 千米，且 A1B1=4 千米。 ( 1 ) 如果居民小区 A、B位于主干线L的两旁，如图(1)所 示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路 的长度是多少千米？(2)如果居民小区A、B位于主干 线 L 的同旁，如图( 2 )所示，那么分支点 M 在什么地 方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

L

A2014-5-19

B’

A 余金耀

B

L

B

A’

B’10

A’

延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2,N是AC

上一动点，则DN+MN的最小值是多少？

A

DM N

B2014-5-19 余金耀

C11

延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，

⊙O的半径为1,求AP+BP的最小值。

A B

M

O

P余金耀

N

2014-5-19

延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=600,E为AB的中点，F是AC 上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ D F

C

A2014-5-19

E

B余金耀 13

延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M(x,0) 到定点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP 和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=?

y

PQ o2014-5-19 余金耀

M

x14

解：作点Q关于x轴的对称点R(2,-1),设直线PR的解析式 解之k=2; b=-5 为y=kx+b,于是有 5 5k b

1 2k by

所以直线PR的解析式为 y=2x-5,令y=0,

解出x=2.5即为所求。

PQo

R

M0

M

x15

2014-5-19

余金耀

下面证明，当 M 坐标为( 2.5, 0)使 MP+MQ 取最小值。 在x轴上取任意点M,连接MP、MQ、MR, 因为点Q关于x轴的对称点为R,易知x轴为QR的垂直平 分线。 于是M0Q= M0 R, MQ=MR 由三角形不等式可知，

y

MP+MQ PR又PR=P M0 +M0 R= M0 P+ M0 Q MP+MQ M0 P+ M0 Q 即M(2.5, 0) 使MP+MQ取最小值.2014-5-19 余金耀

PQ o

R

M0

M

x16