《名师伴你行》人教A版学案3 集合的基本运算

来源：网络收集时间：2026-09-05

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学点一

学点二学点三

学点四学点五学点六学点七

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1.一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作 A∪B ,即A∪B= {x|x∈A或x∈B} 。 2.一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合 A与B的交集，记作 A∩B ,即A∩B= {x|x∈A,且x∈B} . 3.(1)一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集U ,通常记作 U . (2)对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作

即

C U A x | x U且x A

CU A ,.

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4.(1)1.并集A∪B{x|x∈A或x∈B}对于任意的集合A, B,有A∪A= A ,A∩A= A ,A∪B= B∪A ,

A∩B=

B∩A .

若A∪B=B,则A

B;若A∩B=B,则B A.

(2)由补集的定义可知，对任意集合A,有 . A∪(CUA)= U , A∩(CUA)= 5.用集合语言描述下面几个图： (1)A B,A∩B= (2)A B,A∩B= B ,A∪B= A;

A ,A∪B=

B ;

(3)A =B,A∩B= A(B) ,A∪B= A(B).

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学点一基本概念的考查已知U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}.求: (1)A∩B; (2)A∪(CUB); (3)(CUA)∩(CUB); (4)(CUA)∪(CUB) 【分析】由集合的交、并、补概念直接求解. 【解析】 ∵U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, ∴CUA={5,6,7,8}, CUB={1,6,7,8}. ∴(1)A∩B={1,2,3,4}∩{2,3,4,5}={2,3,4}. (2)A∪(CUB)={1,2,3,4}∪{1,6,7,8}={1,2,3,4,6,7,8}. (3)(CUA)∩(CUB)={5,6,7,8}∩{1,6,7,8}= {6,7,8}. (4)(CUA)∪(CUB)={5,6,7,8}∪{1,6,7,8}={1,5,6,7,8 }.

【评析】集合的简单运算可由基本概念直接求解.

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已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求： (1)(CSA)∩(CSB); (2)CS(A∪B); (3)(CSA)∪(CSB); (4)CS(A∩B). 解：A∩B={x|3≤x<5}, A∪B={x|2≤x<7},

CSA={x|1<x< 2}∪{x|5≤x≤7}, CSB={x|1<x<3}∪{7}.(1)(CSA)∩(CSB)={x|1<x<2或x=7}. (2)CS(A∪B)={x|1<x<2或x=7}. (3)(CSA)∪(CSB)={x|1<x<3或5≤x≤7}. (4)CS(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}.

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学点二

交集

已知集合M={x|y2=x+1},P={x|y2=-2(x-3)},那么M∩P=( C )5 2 6 A. {(x,y)x= 3 ,y=± 3 }

B.{x|-1<x<3}

C.{x|-1≤x≤3} D.{x|x≤3 } 【分析】由集合的定义,集合M表示方程y2=x+1中x的范围, 集合P表示方程y2=-2(x-3)中x的范围,故应先化简集合M,P. 【解析】∵M={x|y2=x+1}={x|x+1≥0} ={x|x≥-1},

P={x|y2=-2(x-3)}={x|x≤3},∴M∩P={x|x≥-1,且x≤3}={x|-1≤x≤3}.故应选C. 【评析】理解集合的表示形式,掌握其意义,利用交集定义可解决所给问题.

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设集合A={(x,y)|2x+y=1,x,y∈R},B={(x,y)|a2x+2y=a,x,y∈R}, 若A∩B=,求a的值. 解：集合A,B的元素分别是二元一次方程2x+y=1和 a2x+2y=a的解,因为两方程的公

共解集A∩B=,所以方程组无解.

a 2 x 2 y a 列方程组 2x y 1则

得(4-a2)x=2-a

4 a 2 0 2 a 0

即a=-2.

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学点三

并集

设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},下列集合中与A∪B相等的集合是( D )A.{4,5,6,7,8} B.{3,4,6,7,10,16}

C.{3,4,5,6,7,8,9}

D.{3,4,5,6,7,8}

【分析】注意到集合A与集合B的并集的定义中: (1)集合A∪B中的元素必须是集合A或集合B的元素, (2)集合A∪B包含集合A与集合B中的所有元素.

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【解析】A.3∈B,但3{4,5,6,7,8},{4,5,6,7,8}A∪B; C.9A,9B,A∪B{3,4,5,6,7,8,9};D.显然A∪B={3,4,5,6,7,8}. 故应选D. 【评析】在判定或书写集合A与集合B的并集时,既不能遗 B.10A,10B,16A,16B,{3,4,6,7,10,16}≠A∪B;

漏元素, 也不能增添元素,要严格地理解、掌握并集的定义.

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已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的 C) 取值范围是(A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1

解：∵A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},A∪B=R, ∴由数轴知,a≤-1.

故应选C.

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学点四

补集与全集

设A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0,2},求B.【分析】由A∪(CUA)=U确定全集U,则B可求. 【解析】∵A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3}, ∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6},

又∵CUB={-1,0,2},∴B={-3,1,3,4,6}.【评析】解决与补集有关的问题时,应明确全集是什么, 同时注意补集的有关性质:CU=U,CUU=,CU(CUA)=A等.

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设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且CUA={5},求实数a的值.解：∵CUA={5},∴5∈U,且5A. ∴a2+2a-3=5,即a=2或a= -4.

当a=2时,|2a-1|=3,这时A={3,2},U={2,3,5}.∴CUA={5},适合题意.∴a=2.

当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},AU,∴CUA无意义,故a=-4应舍去. 综上所述可知a=2.

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学点五

交集的应用

已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若A∪B=A,求实数m的取值范围.

【分析】由A∪B=A得AB,故应从BA入手讨论，

但考虑到B是A的子集，因此，不要忘记B=的情况.

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【解析】由题意，A∪B=A,∴BA.(1)若B=,则m+1>2m-1,即m<2,

(2)若B≠,则 m 1 2m 1 2 m 1 2m 1 5 解得2≤m≤3.

此时总有A∪B=A∪=A成立.

综合(1)(2)知,m的取值范围是{m|m<2}∪{m|2≤m≤3}={m|m≤3}.

【评析】由A∪B=A可得BA,而BA包括两种情况，

即B=和B≠.本题常犯的错误是把 B=漏掉而只讨论B≠这一种情况. 返回

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设集合A={a2, a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求实数a的值. 解：∵A∩B={-3},∴-3∈B. ∴a-3= -3或2a-1= -3, ∴a=0或a= -1. 当a=0时,A={0,1,-3},B={-3,-1,1},此时A∩B={1,-3},与 A∩B={-3}矛盾,故舍去.

当a= -1时,A={1,0,-3},B={-4,-3,2},满足A∩B={-3},∴a= -1.

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