【步步高】届高三数学大一轮复习 指数与指数函数学案 理 新人教A

学案7 指数与指数函数

导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．

自主梳理

1．指数幂的概念 (1)根式

*

如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若

n*

xn＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N.式子a叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．

(2)根式的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．

③(a)＝____. ④当n为偶数时，a

n

n

nn

a， a≥0，

＝|a|＝

－a，a<0.

⑤当n为奇数时，a＝____.

⑥负数没有偶次方根． ⑦零的任何次方根都是零． 2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是

n

a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．

②正数的负分数指数幂是

＝____________＝______________(a>0，m，n∈N，n>1)． ③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 rs

①aa＝________(a>0，r，s∈Q)．

rs

②(a)＝________(a>0，r，s∈Q)．

r

③(ab)＝________(a>0，b>0，r∈Q)．

m

n

a

mn

*

1

下

3

22

1．( )

列结论正确的个数是

①当a<0时，(a)＝a； ②a＝|a|；

12

3

n

n

③函数y＝(x 2)－(3x－7)的定义域是(2，＋∞)；

ab

④若100＝5,10＝2，则2a＋b＝1.

A．0 B．1

C．2 D．3

2x

2．函数y＝(a－3a＋3)a是指数函数，则有 ( )

A．a＝1或a＝2 B．a＝1

C．a＝2 D．a>0且a≠1

xxxx

3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a，y＝b，y＝c，y＝d的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ( )

A．a<b<1<c<d B．a<b<1<d<c C．b<a<1<c<d D．b<a<1<d<c

b－bb－b

4．若a>1，b>0，且a＋

a＝22，则a－a的值等于 ( )

A.6 B．2或－2 C．－2 D．2

x－b

5．(2011·六安模拟)函数f(x)＝a的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确

的是( )

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

2

探究点一 有理指数幂的化简与求值

2

例1 已知a，b是方程9x－82x＋9＝0的两根，且a<b，

a－1＋b－132 3

求：(1)÷aa－1；

ab

变式迁移

1

化简

7

3

a－8·a15.

3

a3b23ab2(ab)43

14

12

ba

(a、b>0)的结果是

( )

A.

ba

B．ab C.

ab

D．ab

2

探究点二 指数函数的图象及其应用

1|x＋1|

例2 已知函数y＝().

3

(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．

x

－x

变式迁移( )

2 (2009·山东)函数

e＋e

y＝x－x的图象大致为

e－e

探究点三 指数函数的性质及应用

2xx

例3 如果函数y＝a＋2a－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

113

变式迁移3 (2011·龙岩月考)已知函数f(x)＝(x.

2－12

(1)求f(x)的定义域；

3

(2)证明：f(－x)＝f(x)； (3)证明：f(x)>0.

分类讨论思想的应用

a－a)(a>0且a≠1)． a－1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x∈[－1,1]时f(x)≥b恒成立，求b的取值范围． 【答题模板】

解 (1)函数定义域为R，关于原点对称．

2

例 (12分)已知f(x)＝

a

x－x

(a－a)＝－f(x)， a－1

所以f(x)为奇函数．[3分]

2

(2)当a>1时，a－1>0，

y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数， 所以f(x)为增函数．[5分]

2

当0<a<1时，a－1<0，

y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数， 所以f(x)为增函数．

故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．[7分] (3)由(2)知f(x)在R上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，

2

aa1－a－1

∴f(x)min＝f(－1)2a－a)＝2

a－1a－1a

＝－1.[10分]

∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1， 故b的取值范围是(－∞，－1]．[12分] 【突破思维障碍】

本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．

【易错点剖析】

又因为f(－x)＝

a

－xx

2a－1a－1

号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．

2

在(2)中，函数的单调性既与a－ax－x

aa

1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

4

3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函( )

A．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞)

数

y

＝

2

x

的值域是

B．[1，＋∞) D．2，＋∞)

xax

2．(2011·金华月考)函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是

|x|

(

)

3

．

(2010·

重

a b庆)函

数f(x)＝

4＋1x2

x

的图象

( )

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