可测函数与连续函数(基础教学)

可测函数

与连续函

数

实变大作业

2011/4/27

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可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。

【关键词】：可测函数、连续函数、关系

这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念

1、几乎处处：

给定一个可测集E ，假如存在E

的一个子集，

，且使得性质P

在上处处成立，则称性质P 在E 上几乎处处成立。

2、可测函数： 设是Lebesgue 可测集，是上的实值函数。假如对于任意实数 都是可测集，则称是上的Lebesgue

可测函数（简称是上的可测函数）。

3、几乎处处有限的可测函数：

设是Lebesgue 可测集，给定一个可测集E ，存在E 的一个子集，

，

在上有限，假如对于任意实数 都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue 可测函数 4、连续函数：

设，是定义于的函数，，假如

则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。

5、预备定理、引理

浅红

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定理2.2 设是一个紧集， 是一列沿 连续的函数。若

在 上一致收敛于，则也沿连续。

定理 2.3（Egoroff ） 设和 都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。若在上几乎处处收敛于，则对任何

并且在上一致收敛于。 引理2.1 设是 中的闭集，函数

沿

连续，则可以开拓成

上的连续函数，并且

=

。

引理 2.2 设 是可测集上的简单函数。则对任何 有沿 连

续的函数使 。

二、可测函数和连续的关系

1、连续函数的可测性

定理1 可测集上的连续函数都是可测函数。 证明: 对任意，设，则由连续性假设，存在x

的某邻域，

使。因此，令

，则：

反之，显然有

，因此：

从而：

但G 是开集（因为它是一族开集这并），而E 为可测集，故其交仍

为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。

但可测函数不一定连续例 例：

可测函数Dirichlit 函数在

上处处间断

2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性

引理1：设F 是R 中的闭集，函数f 没

F 连续，则f 可以开拓成R 的连续函数，并且：